Теорема Юнга

Теорема Юнга — неравенство на диаметр и радиус множества точек в любом евклидовом пространстве. Названо в честь Генриха Юнга.

Формулировка

Пусть $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ — компактное множество диаметра $d$ ; то есть,

d=\max _{p,q\,\in \,K}\{\|p-q\|\}

Тогда существует замкнутый шар с радиусом

r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},

который содержит $K$ . Равенства достигается для правильного n-симплекса.

2-мерный случай

Наиболее распространенным является случай плоскости, то есть $n=2$ . В этом случае неравенство утверждает, что существует окружность, охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет

r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.

Это неравенство достигается для равностороннего треугольника

r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.

Вариации и обобщения

Общие метрические пространства

Для любого ограниченного множества $K$ в любом метрическом пространстве выполняется

{\tfrac {d}{2}}\leq r\leq d

Первое неравенство следует из неравенства треугольника для центра шара и двух диаметральных точек. Второе следует из того, что шар радиуса d, центрированный в любой точке $K$ , будет содержать все $K$ .

В дискретном метрическом пространстве, то есть пространстве, в котором расстояния между любой парой различных точек равны достигается второе неравенство. Первое неравенство достигается в инъективных пространствах, таких как расстояние городских кварталов на плоскости.

См. также

Неравенство Юнга

Литература

Радемахер Г., Тёплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. — (выпуск 10 серии "Библиотека математического кружка").

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.