Диаметр

Пара сопряжённых диаметров эллипса. Если в точках касания диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм

• Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.

На рисунке представлена пара сопряжённых диаметров (красный и синий). Если в точках пересечения диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу, и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм (зелёные линии на рисунке).

• Расстояния ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$ от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
• Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле ${\displaystyle r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi }}}={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.

Диаметры гиперболы

• Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряжённый диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.
• Угловой коэффициент ${\displaystyle k}$ параллельных хорд и угловой коэффициент ${\displaystyle k_{1}}$ соответствующего диаметра связан соотношением

${\displaystyle k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$

Для произвольного угла φ показаны диаметры и сопряжённые им диаметры для окружностей и равнобочных гипербол.

• Если диаметр гипербол a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряжёнными.
• Главными диаметрами гипербол называются взаимно сопряжённые и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.
• В случае гипербол с асимптотами, образующими прямой угол, её сопряжённые гиперболы получатся при её зеркальном отражении относительно одной из асимптот. При таком зеркальном отражении её диаметр перейдет в сопряжённый диаметр, который будет просто диаметром сопряжённой гиперболы (см. рис.). Также. как наблюдается перпендикулярность сопряжённых диаметров на окружности (на рис. слева), аналогичная ортогональность наблюдается для сопряжённых диаметров гиперболы со взаимно перпендикулярными асимптотами (на рис. справа).