Окружность

Окружность радиуса r = 1, центр (a, b) = (1.2, −0.5)

Общее уравнение окружности записывается как:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0,}$

или

${\displaystyle \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2},}$

где

${\displaystyle 2x_{0}=-A,\;2y_{0}=-B,\;2R={\sqrt {A^{2}+B^{2}-4C}}.}$

Точка ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ — центр окружности, ${\displaystyle R}$ — её радиус.

Уравнение окружности радиуса ${\displaystyle R}$ с центром в начале координат:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

Уравнение окружности, проходящей через точки ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),}$ не лежащие на одной прямой (с помощью определителя):

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Тогда в явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:

${\displaystyle x_{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3}^{2}-y_{3}^{2})+y_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2})+y_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}}$

${\displaystyle y_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3}^{2}-y_{3}^{2})+x_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2})+x_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}}$

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}$

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

${\displaystyle y=y_{0}\pm {\sqrt {R^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.}$

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.}$

Окружность радиуса ${\displaystyle R}$ с центром в точке ${\displaystyle \left(\rho _{0},\phi _{0}\right)}$:

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho \,\rho _{0}\cos \left(\phi -\phi _{0}\right)+\rho _{0}^{2}=R^{2}.}$

Если полярные координаты центра окружности ${\displaystyle \rho _{0}=R,\;\phi _{0}=\alpha ,}$ то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

${\displaystyle \rho (\varphi )=2R\cos \,(\varphi -\alpha ),\;\;\;\alpha -{\frac {\pi }{2}}\leqslant \varphi \leqslant \alpha +{\frac {\pi }{2}}.}$

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид

${\displaystyle \rho =R.}$

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

${\displaystyle \left|z-z_{0}\right|=R}$

или в параметрическом виде

${\displaystyle z=z_{0}+Re^{it},\,t\in \mathbb {R} .}$

В пространстве окружность радиуса ${\displaystyle R}$ с центром в точке ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ можно определить как контур диаметрального сечения сферы

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}}$

плоскостью

${\displaystyle a\cdot (x-x_{0})+b\cdot (y-y_{0})+c\cdot (z-z_{0})=0}$,

где ${\displaystyle a,b,c}$ — параметры, не равные одновременно нулю; то есть все точки, лежащие на данной окружности, есть решения системы

${\displaystyle {\begin{cases}(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},\\a{\cdot }(x-x_{0})+b{\cdot }(y-y_{0})+c{\cdot }(z-z_{0})=0.\end{cases}}}$

Например, при ${\displaystyle a=c\neq 0}$ решения этой системы можно задать параметрически следующим образом:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+{\dfrac {R}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}\cdot \!\left(c\cdot \cos t-{\dfrac {a\cdot b\cdot \sin t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\right)\!,\\[10pt]y=y_{0}+{\dfrac {R\cdot {\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\cdot \sin t,\\[10pt]z=z_{0}-{\dfrac {R}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}\cdot \!\left(a\cdot \cos t+{\dfrac {b\cdot c\cdot \sin t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\right)\!,\end{cases}}t\in [0;2\pi ).}$

Уравнение касательной к окружности в точке ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ определяется уравнением

${\displaystyle \left({\frac {A}{2}}+x_{1}\right)x+\left({\frac {B}{2}}+y_{1}\right)y+\left({\frac {A}{2}}x_{1}+{\frac {B}{2}}y_{1}+C\right)=0.}$

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{2x_{1}+A}}={\frac {y-y_{1}}{2y_{1}+B}}.}$

Концентрические окружности

Окружности с общим центром, но разными радиусами, называются концентрическими. Две окружности, заданные уравнениями:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\;\;\;x^{2}+y^{2}+A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$

являются концентрическими в том и только в том случае, когда ${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$ и ${\displaystyle B_{1}=B_{2}.}$

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=2\left(C_{1}+C_{2}\right).}$

Через вершину треугольника проведена касательная к описанной окружности

• Треугольник ABC называется вписанным в окружность (A,B,C), если все три его вершины A, B и C лежат на этой окружности. При этом окружность называется описанной окружностью треугольника ABC (См. Описанная окружность).
• Касательная к окружности, проведённая через любую вершину вписанного в неё треугольника, антипараллельна стороне треугольника, противоположной данной вершине.
• Треугольник ABC называется описанным около окружности (A',B',C'), если все три его стороны AB, BC и CA касаются этой окружности в некоторых точках соответственно C' , A' и B' . При этом окружность называется вписанной окружностью треугольника ABC (См. Вписанная окружность).
• Треугольник ABC называется внеописанным для окружности (A',B',C'), если все 3 его стороны AB, BC и CA касаются этой окружности в некоторых точках соответственно C' , A' и B' , а именно: одной из 2 сторон касается непосредственно, а также продолжений 2 других сторон за пределы треугольника. При этом окружность называется вневписанной окружностью треугольника ABC (См. Вневписанная окружность).

• Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом (Определение через угол, опирающийся на диаметр окружности).
• Окружность с хордой AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под постоянным углом с одной стороны, равным вписанному углу дуги AB, и под другим постоянным углом с другой стороны, равным 180 градусов минус вписанный угол дуги AB, указанный выше (Определение через вписанный угол).
• Фигура состоящая из таких точек ${\displaystyle X,}$ что отношение длин отрезков AX и BX постоянно: ${\displaystyle {\frac {AX}{BX}}=c\neq 1,}$ является окружностью (Определение через окружность Аполлония).
• Фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками, также является окружностью (Определение через теорему Пифагора для произвольного прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, с гипотенузой, являющейся диаметром окружности).
• Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Если через произвольную точку E внутри неё провести любые хорды AB, CD, GF и т. д., тогда справедливы равенства: ${\displaystyle AE\cdot EB=CE\cdot ED=GE\cdot EF}$ (см. рис.). Равенства всегда будут выполняться независимо от выбора точки E и направлений проведённых через неё хорд (Определение через пересекающиеся хорды).

${\displaystyle AE\cdot EB=CE\cdot ED}$

• Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Если через произвольную точку M вне её провести две касательные до точек их касания с окружностью, например, A и B, тогда их длины всегда будут равны: ${\displaystyle MA=MB}$. Равенство всегда будет выполняться независимо от выбора точки M (Определение через равные касательные).
• Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Отношение длины любой её хорды к синусу любого её вписанного угла, опирающегося на эту хорду, есть величина постоянная, равная диаметру этой окружности (Определение через теорему синусов).
• Окружность — это частный случай эллипса, у которого расстояние между фокусами равно нулю (Определение через вырожденный эллипс).
• Окружность есть Синусоидальная спираль при ${\displaystyle n=1}$.

• Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
• Две окружности, имеющие лишь одну общую точку, называются касающимися внешним образом, если их круги не имеют других общих точек, и внутренним образом, если их круги лежат один внутри другого.
• Две окружности, имеющие две общие точки, называются пересекающимися. Их круги (ими ограниченные) пересекаются по области, называемой двойным круговым сегментом.
• Углом между двумя пересекающимися (или касающимися) окружностями называется угол между их касательными, проведёнными в общей точке пересечения (или касания).
• Также углом между двумя пересекающимися (или касающимися) окружностями можно считать угол между их радиусами (диаметрами), проведёнными в общей точке пересечения (или касания).
• Поскольку для любой окружности её радиус (или диаметр) и касательная, проведённые через любую точку окружности, взаимно перпендикулярны, то радиус (или диаметр) можно считать нормалью к окружности, построенной в данной её точке. Следовательно, два типа углов, определённых в двух предыдущих двух пунктах, всегда будут равны между собой, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
• Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом.
• Радикальная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведённых к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек.

• Угол между двумя пересекающимися окружностями — угол между касательными к окружностям в точке пересечения этих окружностей. Оба угла между двумя пересекающимися окружностями равны.
• Угол между двумя непересекающимися окружностями — угол между двумя общимикасательными к двум окружностям, образуемый в точке пересечения этих двух касательных. Точка пересечения этих двух касательных должна лежать между двумя окружностями, а не со стороны одной из них (этот угол не рассматривается). Оба вертикальных угла между двумя непересекающимися окружностями равны.

• Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом.
• Две пересекающиеся в точках A и B окружности с центрами O и O' называются ортогональными, если являются прямыми углы OAO' и OBO' . Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведённому в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
• Возможно другое дополнительное условие. Пусть две пересекающиеся в точках A и B окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках C и D, то есть дуга AС равна дуге СB, дуга AD равна дуге DB. Тогда эти окружности называются ортогональными, если являются прямыми углы CAD и CBD.
• В теории инверсии вводятся: окружность или прямая, перпендикулярные к окружности ${\displaystyle \Gamma }$. При этом перпендикулярность определяется также, как и выше.
• В теории инверсии прямая перпендикулярна к окружности ${\displaystyle \Gamma }$, если она проходит через центр последней.

• Три окружности называются взаимно касающимися (пресекающимися), если любые две из них касаются (пресекаются) друг друга.
• В геометрии радикальный центр трёх окружностей — это точка пересечения трёх радикальных осей пар окружностей. Если радикальный центр лежит вне всех трёх окружностей, то он является центром единственной окружности (радикальной окружности), которая пересекает три данные окружности ортогонально.

Лемма Архимеда. Если окружность вписана в сегмент окружности, стягиваемый хордой ${\displaystyle BC}$, и касается дуги в точке ${\displaystyle A_{1}}$, а хорды — в точке ${\displaystyle A_{2}}$, то прямая ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ является биссектрисой угла ${\displaystyle BA_{1}C}$. Лемма Архимеда играет важную роль при построении изоциркулярного преобразования.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle G}$ — гомотетия, переводящая малую окружность в большую. Тогда ясно, что ${\displaystyle A_{1}}$ является центром этой гомотетии. Тогда прямая ${\displaystyle BC}$ перейдёт в какую-то прямую ${\displaystyle a}$, касающуюся большой окружности, а ${\displaystyle A_{2}}$ перейдёт в точку на этой прямой и принадлежащей большой окружности. Вспомнив, что гомотетия переводит прямые в параллельные им прямые, понимаем, что ${\displaystyle a\parallel BC}$. Пусть ${\displaystyle G(A_{2})=A_{3}}$ и ${\displaystyle D}$ — точка на прямой ${\displaystyle a}$, такая, что ${\displaystyle \angle CA_{3}D}$ — острый, а ${\displaystyle E}$ — такая точка на прямой ${\displaystyle a}$, что ${\displaystyle \angle BA_{3}E}$ — острый. Тогда, так как ${\displaystyle a}$ — касательная к большой окружности ${\displaystyle \angle CA_{3}D}$${\displaystyle =}$${\displaystyle \angle CBA_{3}}$${\displaystyle =\angle BA_{3}E=\angle BCA_{3}}$. Следовательно ${\displaystyle \bigtriangleup BCA_{3}}$ — равнобедренный, а значит ${\displaystyle \angle BA_{1}A_{3}=\angle CA_{1}A_{3}}$, то есть ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ — биссектриса угла ${\displaystyle \angle BA_{1}C}$.

Теорема Декарта утверждает, что радиусы любых четырёх взаимно касающихся окружностей удовлетворяют некоторому квадратному уравнению. Их иногда называют окружностями Содди.