Радикальная ось двух окружностей

Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек.

Радикальная ось двух непересекающихся окружностей
Радикальная ось двух пересекающихся окружностей

Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и мнимых окружностей (мнимого радиуса).

Радикальная ось двух окружностей. Три возможных случая: 1) Окружности не пересекаются и ни одна из них не лежит внутри другой. 2) Окружности пересекаются. 3) Окружности не пересекаются и одна из них лежит внутри другой.

Свойства радикальной оси

  • Радикальная ось является прямой. Поскольку степень точки относительно окружности равна где коэффициенты A, B и C определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получим а это уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.
  • Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.
  • Если P — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки P к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.
Расширяющиеся окружности точек степени d относительно каждой из двух начальных окружностей и точки, принадлежащие радикальной оси (жёлтые).
  • Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, проходящая через эти точки, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).
Построение радикальной оси двух окружностей
  • Если прямые, содержащие хорды и первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник вписанный. Это несложно доказать: пусть  — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и Так как то точки и лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что  — общая хорда первой и третьей, а  — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные в четырёх точках, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.
Радикальный центр трёх окружностей
  • Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром. Пусть  — окружности, а  — точка пересечения радикальной оси окружностей и с радикальной осью окружностей и . Если  — степень точки относительно окружности то по определению радикальной оси и точка лежит на радикальной оси окружностей и
  • Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть). См. рис.
Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, находится на радикальной оси
  • Антигомологические хорды[уточнить] двух окружностей пересекаются на их радикальной оси (видимо, имеются в виду две хорды, проходящие через две пары антигомотетических точек двух окружностей, см. рис. ниже).
  • Пусть  — четырёхугольник, прямые и пересекаются в точке , и  — в . Тогда окружности, построенные на отрезках , и , как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников , , и (прямая Обера — Штейнера).
Антигомотетические точки двух окружностей имеют хорды, которые пересекаются на радикальной оси

Ортогональность

  • Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом.
  • Две пересекающиеся в точках A и B окружности с центрами O и O' называются ортогональными, если являются прямыми углы OAO' и OBO' . Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведенному в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
  • Возможно другое дополнительное условие. Пусть две пересекающиеся в точках A и B окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках C и D, то есть дуга равна дуге СB, дуга AD равна дуге DB. Тогда эти окружности называются ортогональными, если являются прямыми углы СAD и СBD.
Построение радикальной оси двух непересекающхся окружностей. Пояснения на рисунке. Радикальная ось показана красной

Следствия из свойств радикальной оси

  • На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с двумя его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки.
  • Последнее можно сформулировать так. Если 2 вневписанные окружности треугольника касаются 2 его разных сторон и 2 их продолжений в 4 точках касания, то образуемый 4 последними точками, как вершинами, четырехугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны 2 боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к 2 окружностям).
  • Диагонали описанного около окружности шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона для окружности).

Ссылки

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.