Вписанный четырёхугольник

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции или антипараллелограммы можно вписать в окружность. Дельтоид можно вписать в том и только в том случае, когда у него два угла прямые. Бицентричный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, который также является и описанным, а внешне бицентричный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, который является также внешне описанным.

Выпуклый невырожденный четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке[1].

Выпуклый четырёхугольник ${\displaystyle \displaystyle ABCD}$ является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°, то есть[2].

${\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^{\circ }.}$

Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида Начала[3]. Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.

Другой критерий для того, чтобы выпуклый четырёхугольник ${\displaystyle \displaystyle ABCD}$ был вписанным, требует, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю[4]. Например,

${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}$

В выпуклом четырехугольнике ${\displaystyle \displaystyle ABCD}$ пусть ${\displaystyle \displaystyle E}$ - точка пересечения диагоналей, ${\displaystyle \displaystyle F}$ - точка пересечения продолжений сторон ${\displaystyle \displaystyle AD}$ и ${\displaystyle \displaystyle BC}$, и пусть ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ - окружность, диаметр которой является отрезком ${\displaystyle \displaystyle EF}$, формирующая точки Паскаля ${\displaystyle \displaystyle P}$ и ${\displaystyle \displaystyle Q}$ на сторонах ${\displaystyle \displaystyle AB}$ и ${\displaystyle \displaystyle CD}$.
(1) ${\displaystyle \displaystyle ABCD}$ является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки ${\displaystyle \displaystyle P}$ и ${\displaystyle \displaystyle Q}$ коллинеарные с центром ${\displaystyle \displaystyle O}$ окружности ${\displaystyle \displaystyle \omega }$.[5] [6]
(2) ${\displaystyle \displaystyle ABCD}$ является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки ${\displaystyle \displaystyle P}$ и ${\displaystyle \displaystyle Q}$ являются серединами сторон ${\displaystyle \displaystyle AB}$ и ${\displaystyle \displaystyle CD}$.[5][6]

ABCD является циклическим четырехугольником. E - точка пересечения диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон BC и AD. ${\displaystyle \omega }$ - окружность, диаметр которой является отрезком EF. P и Q - точки Паскаля, сформированные с помощью окружности ${\displaystyle \omega }$.

Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей p и q четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан: [7]

${\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.}$

Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC, а другая — отрезок BD, пересекаются в точке E, то четыре точки A, B, C, D лежат на окружности тогда и только тогда, когда[8]

${\displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.}$

Точка пересечения E может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD, а во втором — вписанный четырёхугольник ABDC. Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка E делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности.

Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда [9]

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {C}{2}}=\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {D}{2}}=1.}$

Пусть ${\displaystyle \displaystyle ABCD}$ выпуклый четырехугольник, в котором ${\displaystyle \displaystyle E}$ - точка пересечения диагоналей, ${\displaystyle \displaystyle F}$ - точка пересечения продолжений сторон ${\displaystyle \displaystyle AD}$ и ${\displaystyle \displaystyle BC}$, ${\displaystyle \displaystyle G}$ - точка пересечения продолжений сторон ${\displaystyle \displaystyle AB}$ и ${\displaystyle \displaystyle CD}$. И пусть ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ - окружность девяти точек треугольника ${\displaystyle \displaystyle EFG}$. ${\displaystyle \displaystyle ABCD}$ является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точка пересечения его средних линий лежит на окружности ${\displaystyle \displaystyle \omega }$.[10][11][5]

ABCD - циклический четырехугольник, в котором E - точка пересечения диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон AD и BC, G - точка пересечения продолжений сторон AB и CD. ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ - окружность девяти точек треугольника EFG. Точка T пересечения средних линий ABCD принадлежит окружности ${\displaystyle \displaystyle \omega }$.

Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой Брахмагупты[12]

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

где p, полупериметр, равен ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$. Утверждение является следствием соотношения Бретшнайдера, поскольку противоположные углы в сумме дают 180°. Если же d= 0, вписанный четырёхугольник становится треугольником, и равенство превращается в формулу Герона.

Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализа[13].

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольников[14], и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a, b, c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b, c или d. Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длины[15].

Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a, b, c, d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулой[7]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}$

или[16]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}$

где θ — любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой [16]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}$

Ещё одна формула площади [17]

${\displaystyle S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}$

где R — радиус описанной окружности. Прямым следствием будет [18]

${\displaystyle S\leq 2R^{2}}$,

и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.

Во вписанном четырёхугольнике с вершинами A, B, C, D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны [19][20][15]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$

и

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$

что даёт равенство Птолемея

${\displaystyle pq=ac+bd.}$

Согласно второй теореме Птолемея[19][20],

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}$

при тех же обозначениях, что и прежде.

Для суммы диагоналей имеем неравенство [21]

${\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}$

Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Более того[22],

${\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}$

В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны.

Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD, то[23]

${\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}$

где E и F — точки пересечения противоположных сторон.

Если ABCD — вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P, то [24]

${\displaystyle {\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}$

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d, полупериметром p и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равны[25]

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}{(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-d)}{(p-b)(p-c)}}}.}$

Для угла θ между диагоналями выполняется[16]

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-d)}{(p-a)(p-c)}}}.}$

Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом ${\displaystyle \phi }$, то

${\displaystyle \cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}$

где p — полупериметр[26]

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d (в указанной последовательности) и полупериметром p радиус описанной окружности задаётся формулой[20][27]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}.}$

Формула была выведена индийским математиком Ватассери Парамешварой в 15 веке.

Используя формулу Брахмагупты, формулу Парамешвары можно преобразовать в

${\displaystyle 4SR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}$,

где S — площадь вписанного четырёхугольника.

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке[28][29]. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно "вершинного центроида". Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, "вершинный центроид" и антицентр лежат на одной прямой[29].

Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P, а середины диагоналей — V и W, то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP, а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей [29].

Во вписанном четырёхугольнике "центроид площади" G_a, "центроид вершин" G_v и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенство[30]

${\displaystyle PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.}$

Японская теорема

• Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника. Это одна из теорем, известных как японская теорема. Ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD. Центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольника[4].

• Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD. Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле треугольника.

• Не существует вписанных четырёхугольников с рациональной площадью и неравными рациональными сторонами, образующими арифметическую, либо геометрическую прогрессию[31].

• Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник является также внешне описанным.

• Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярны[14].

• Пусть ${\displaystyle ABCD}$ — вписанный четырёхугольник, ${\displaystyle A_{1}}$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины ${\displaystyle A}$ на диагональ ${\displaystyle BD}$; аналогично определяются точки ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}$. Тогда точки ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}$ лежат на одной окружности.[32]

Четырёхугольник Брахмагупты[33] — это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f, площадью S, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t, u и v):

${\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

${\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}$

${\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}$

${\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}$

• Теорема о бабочке
• Описанная окружность
• Степень точки относительно окружности
• Таблица хорд Птолемея
• Пятиугольник Роббинса
• Внеописанный четырёхугольник
• Четырёхугольник

• Claudi Alsina, Roger Nelsen. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Сhapter 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals. — Mathematical Association of America, 2009. — ISBN 978-0-88385-342-9.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. On the diagonals of a cyclic quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7.
• Nathan Altshiller-Court. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. — 2nd. — Courier Dover, 2007. — ISBN 978-0-486-45805-2. (org. 1952)
• =Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Springer, 2004. — ISBN 978-0-8176-4305-8.
• Christopher Bradley. Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral. — 2011.
• Christopher J. Bradley. The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates. — Highperception, 2007. — ISBN 1906338000.
• R. H. Buchholz, J. A. MacDougall. Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression // Bulletin of the Australian Mathematical Society. — 1999. — Т. 59, вып. 2. — doi:10.1017/S0004972700032883.
• Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry Revisited. 3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula. — Mathematical Association of America, 1967. — ISBN 978-0-88385-619-2. Перевод Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. 3.2 Вписанные четырёхугольники; Теорема Брахмагупты. — Москва: «Наука», 1978. — (Библиотека математического кружка).
• Crux Mathematicorum. Inequalities proposed in Crux Mathematicorum. — 2007.
• D. Fraivert. The theory of an inscribable quadrilateral and a circle that forms Pascal points // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. — 2016. — Т. 42. — P. 81–107. — doi:10.18642/jmsaa_7100121742.
• C. V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry. — Courier Dover, 2003. — ISBN 978-0-486-43229-8. (orig. 1930)
• Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.
• Larry Hoehn. Circumradius of a cyclic quadrilateral // Mathematical Gazette. — 2000. — Т. 84, вып. 499 March. — .
• Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Cambridge University Press, 1995. — Т. 37. — (New Mathematical Library). — ISBN 978-0-88385-639-0.
• Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover Publ, 2007. (orig. 1929)
• Thomas Peter. Maximizing the area of a quadrilateral // The College Mathematics Journal. — 2003. — Т. 34, вып. 4 September. — .
• Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. — 2nd. — Courier Dover, 1970. — ISBN 978-0-486-69154-1. Глава: Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.

• , <http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf> Архивная копия от 21 сентября 2018 на Wayback Machine Перевод с русского издания В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Учебное пособие. — 5-е. — Москва: МЦНМО OAO «Московские учебники», 2006. — ISBN 5-94057-214-6.
• K.R.S. Sastry. Brahmagupta quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2002. — Т. 2.
• A. W. Siddons , R. T. Hughes. Trigonometry. — Cambridge University Press, 1929.
• Zalman Usiskin, Jennifer Griffin, David Witonsky, Edwin Willmore. The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition. — IAP, 2008. — (Research in mathematics education). — ISBN 978-1-59311-695-8.
• D. E. Joyce. Euclid's Elements. — Clark University, 1997.
• D. Fraivert. Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral // The Mathematical Gazette. — 2019. — Т. 103, вып. 557.

• Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral
• Incenters in Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
• Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
• Weisstein, Eric W. Cyclic quadrilateral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Euler centre and maltitudes of cyclic quadrilateral at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.