Описанный четырёхугольник

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными [1]. Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется бицентральным.

${\displaystyle BE+BF=DE+DF}$ или ${\displaystyle AE-EC=AF-FC.}$. Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности[2].

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:

${\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.}$

Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным. [3][4][2]

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющемся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда [2]

${\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF}$

или

${\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.}$

Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта. Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга[5].

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда [6]

${\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.}$

Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда

${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$,

где R_a, R_b, R_c, R_d являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны [7].

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой [8]

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\frac {S}{a+c}}={\frac {S}{b+d}}}$,

где S — площадь четырёхугольника, а p — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности [16][17].

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}$

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то

${\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}}$,

где ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}$[18].

Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам[1]

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой[1](см. рисунок)

${\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}$

Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равны[19]

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$

Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны[1]

${\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},}$

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению [1]

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}$

Две хорды

• перпендикулярны тогда и только тогда, когда четырёхугольник также и вписан [20].
• имеют одинаковые длины тогда и только тогда, описанный четырёхугольник является дельтоидом[21].

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA[22].

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных ${\displaystyle {\tfrac {BM}{DN}}}$ равно отношению ${\displaystyle {\tfrac {BP}{DP}}}$ отрезков диагонали BD.[23]

Прямая Нагеля QO и ортоцентры H_M, H_N, H_K, H_L

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M₃ — середина отрезка EF, тогда точки M₃, M₁, O, и M₂ лежат на одной прямой[24] Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямой[25]

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если T_M, T_K, T_N, T_L являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТ_M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых T_NT_M и T_KT_L. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника[26].

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть H_M, H_K, H_N, H_L являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, H_M, H_K, H_N и H_L лежат на одной прямой.[12]

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке).[13] Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.[12]

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружности[27].

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих сторон[12]

${\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {OA\cdot OB}{OC\cdot OD}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {OB\cdot OC}{OD\cdot OA}}.}$

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению[28]

${\displaystyle AB\cdot BC=OB^{2}+{\frac {OA\cdot OB\cdot OC}{OD}}.}$

Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то[12]

${\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}$

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда[12]

${\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.}$

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то[12][29]

${\displaystyle {\frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={\frac {OA\cdot OC}{OB\cdot OD}}={\frac {e+g}{f+h}},}$

где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центром вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклым[30][31] (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса ${\displaystyle {\sqrt {abcd}}/s}$, где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.

Описание Чао и Симеонова (Chao, Simeonov) в терминах радиусов окружностей, вписанных в каждый из четырёх и треугольников

Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.

Пусть r₁, r₂, r₃ и r₄ означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда[32]

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}$

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном[33][34]. В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через h_M, h_K, h_N и h_L обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда [6][34]

${\displaystyle {\frac {1}{h_{M}}}+{\frac {1}{h_{N}}}={\frac {1}{h_{K}}}+{\frac {1}{h_{L}}}.}$

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей r_M, r_K, r_N и r_L для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда [35]

${\displaystyle {\frac {1}{r_{M}}}+{\frac {1}{r_{N}}}={\frac {1}{r_{K}}}+{\frac {1}{r_{L}}}.}$

Если R_M, R_K, R_N и R_L — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда [36]

${\displaystyle R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.}$

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах[37]. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник [38]. Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника[39].

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружности[40] (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если R_m, R_n, R_k и R_l — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет [41]

${\displaystyle {\frac {1}{R_{m}}}+{\frac {1}{R_{n}}}={\frac {1}{R_{k}}}+{\frac {1}{R_{l}}}.}$

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда [6]

${\displaystyle {\frac {m}{\triangle (APB)}}+{\frac {n}{\triangle (CPD)}}={\frac {k}{\triangle (BPC)}}+{\frac {l}{\triangle (DPA)}}}$

где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = p_a и PC = p_c. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = p_b и PD = p_d. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:[42]

${\displaystyle mp_{c}p_{d}+np_{a}q_{b}=kp_{a}p_{d}+lp_{c}p_{b}}$

или [38]

${\displaystyle {\frac {(p_{a}+p_{b}-m)(p_{c}+p_{d}-n)}{(p_{a}+p_{b}+m)(p_{c}+p_{d}+n)}}={\frac {(p_{c}+p_{b}-k)(p_{a}+p_{d}-l)}{(p_{c}+p_{b}+k)(p_{a}+p_{d}+l)}}}$

или[43]

${\displaystyle {\frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n-p_{c}+p_{d})}}={\frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_{c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.}$

Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны[44].

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда[20][25]

• хорда MN перпендикулярна KL
• ${\displaystyle {\frac {AM}{MB}}={\frac {DN}{NC}}}$
• ${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AM+CN}{BK+DL}}}$

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон[45].

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:[46]

• Площадь равна половине произведения диагоналей
• Диагонали перпендикулярны
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
• Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
• Средние линии имеют одинаковые длины
• Произведения противоположных сторон равны
• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

• Описанная окружность
• Внекасательный четырёхугольник
• Описанная трапеция
• Вписанная в треугольник окружность

• Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Birkhäuser, 2006.
• Helen. On a circle attached to a collapsible four-bar // American Mathematical Monthly. — 1926. — Т. 33, вып. 9. — .
• Alexander Bogomolny. When A Quadrilateral Is Inscriptible? // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
• C.V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry // Dover reprint. — 2003.
• Victor Bryant, John Duncan. Wheels within wheels // Mathematical Gazette. — 2010. — Вып. 94, November.
• Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14.
• Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly. — 2000. — Т. 107, вып. 7. — doi:10.2307/2589133.
• Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.

Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — Т. 11.

• John P. Hoyt. Quickies, Q694 // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57, вып. 4.
• John P. Hoyt. Maximizing the Area of a Trapezium // American Mathematical Monthly. — 1986. — Т. 93, вып. 1. — doi:10.2307/2322549.

• Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10.

Martin Josefsson. On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — Т. 10.

• Martin Josefsson. Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010c. — Т. 10.
• Martin Josefsson. When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. — 2011a. — Т. 11.
• Martin Josefsson. More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2011b. — Т. 11.
• Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011c. — Т. 11.
• Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12.
• Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. — 2012b. — Т. 12.
• Nicusor Minculete. Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2009. — Т. 9.
• Alexei Myakishev. On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6.
• A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometry. — Cambridge Univ. Press, 1929.
• И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров. (Решение задачи) M1495 // Квант. — 1995. — Вып. 6.
• Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вып. 95, March.

• Weisstein, Eric W. Tangential Quadrilateral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.