Изотомическое сопряжение

Пусть дан треугольник ${\displaystyle ABC}$, у которого ${\displaystyle A_{0}}$ — середина стороны ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle B_{0}}$ — середина ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle C_{0}}$ — середина стороны ${\displaystyle AB}$. Пусть также на плоскости выбрана произвольная точка ${\displaystyle P}$, не лежащая на прямых, содержащих его стороны. Тогда рассмотрим прямые ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$ и ${\displaystyle CP}$. Пусть они пересекают прямые, содержащие противолежащие стороны треугольника, соответственно в точках ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ (если прямые окажутся параллельными, точкой пересечения считается бесконечно удалённая точка прямой). Согласно теореме Чевы, ${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}=1}$. Если теперь точки ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ симметрично отразить относительно ${\displaystyle A_{0}}$, ${\displaystyle B_{0}}$ и ${\displaystyle C_{0}}$ соответственно, получатся точки ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle B_{2}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ (бесконечно удалённая точка переходит сама в себя). Поскольку ${\displaystyle AC_{1}=BC_{2}}$, ${\displaystyle AC_{2}=BC_{1}}$ и так же для остальных пар точек, получаем ${\displaystyle 1={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}={\frac {BC_{2}}{C_{2}A}}\cdot {\frac {CA_{2}}{A_{2}B}}\cdot {\frac {AB_{2}}{B_{2}C}}}$ и, согласно той же теореме Чевы, прямые ${\displaystyle AA_{2}}$, ${\displaystyle BB_{2}}$ и ${\displaystyle CC_{2}}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle P'}$. Эта точка называется изотомически сопряжённой точке ${\displaystyle P}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$.

Изотомическое сопряжение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости с исключёнными прямыми ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AC}$. На этих прямых соответствие не является взаимно-однозначным, так любой точке прямой ${\displaystyle BC}$ соответствует вершина ${\displaystyle A}$ (и наоборот, вершине ${\displaystyle A}$ — всякая точка ${\displaystyle BC}$) и так далее.

Если барицентрические координаты точки ${\displaystyle P}$ суть ${\displaystyle (p:q:r)}$, то барицентрические координаты изотомически сопряжённой ей точки ${\displaystyle P'}$ суть ${\displaystyle \left({\frac {1}{p}}:{\frac {1}{q}}:{\frac {1}{r}}\right)}$.

Если трилинейные координаты точки ${\displaystyle P}$ суть ${\displaystyle (p:q:r)}$, то трилинейные координаты изотомически сопряжённой ей точки ${\displaystyle P'}$ суть ${\displaystyle \left({\frac {1}{a^{2}p}}:{\frac {1}{b^{2}q}}:{\frac {1}{c^{2}r}}\right)}$.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

• Изотомическое сопряжение является симметрией, то есть его квадрат тривиален.

• Неподвижными точками (то есть переходящими сами в себя) изотомического сопряжения являются центроид (другие названия: барицентр или центр масс, то есть точка пересечения медиан) треугольника ${\displaystyle ABC}$ и точки, симметричные вершинам треугольника относительно середин противолежащих сторон.
• Точки Жергонна и Нагеля изотомически сопряжены.
• Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара.
• Точке пересечения биссектрис (инцентру) изотомически сопряжена точка пересечения антибиссектрис,
• Прямые общего положения относительно треугольника при изотомическом сопряжении переходят в описанные вокруг него коники, и наоборот.

• Изогональное сопряжение
• Изоциркулярное преобразование

• А. Г. Мякишев "Элементы геометрии треугольника", М., МЦНМО, 2002
• Е. А. Куланин, А. Г. Мякишев "О некоторых кониках, связанных с треугольником"