Точка Жергонна

Точка Жергонна
Точка Жергонна
	; Треугольник ΔABC, с вписанной окружностью (синяя), центром вписанной окружности I, красный треугольник построенный по точкам касания Ta,Tb и Tc и точка Жергонна (зелёная, Ge)
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ	X(7)
Связанные точки
Изотомически сопряженная	точка Нагеля
Дополнительная	миттенпункт

Точка Жергонна — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон вписанной окружностью.

Обычно обозначается $Ge$ , $G$ , $J$ или $K$ .

Свойства

Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля.
Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен

$L^{2}=r^{2}-{\frac {3p^{2}r^{2}}{(4R+r)^{2}}}$

Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен

$L^{2}=R^{2}-{\frac {4p^{2}r(R+r)}{(4R+r)^{2}}}$

Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром.[1]
Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.[2]

Треугольник Жергонна

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T_A, T_B и T_C. Точка T_A лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Свойства

Три прямые AT_A, BT_B и CT_C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7).
Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна.
Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC.

См. также

История

Точка Жергонна была открыта Жозефом Диасом Жергонном (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) в начале XIX века.

Примечания

Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Bradley-1] Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..

[2] Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.