Трилинейная система координат

Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если ${\displaystyle (\alpha$ :\beta :\gamma )}  — барицентрические координаты точки ${\displaystyle X}$ относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$, а ${\displaystyle a,b,c}$ — длины его сторон, то

${\displaystyle (x:y:z)=\left({\frac {\alpha }{a}}:{\frac {\beta }{b}}:{\frac {\gamma }{c}}\right)}$

её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

Для точки ${\displaystyle X}$, лежащей внутри треугольника ${\displaystyle ABC}$, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников ${\displaystyle (S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})}$. Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки ${\displaystyle X}$ до сторон треугольника — абсолютные трилинейные координаты. Если точка ${\displaystyle X}$ лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учётом знака. Например, если точки ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle A}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle BC}$, то ${\displaystyle x>0}$, а если по разные, то ${\displaystyle x<0}$.

В трилинейных координатах изогональное сопряжение задаётся формулой ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x^{-1}:y^{-1}:z^{-1})}$. В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением.