Конические координаты

Конические координаты — трёхмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер (радиус r) и двумя семействами перпендикулярных конусов, направленных вдоль осей z и x.

Координатные поверхности конических координат. Постоянные b и c равны 1 и 2 соответственно. Красная сфера соответствует r = 2, синий эллиптический конус вокруг оси z соответствует μ=cosh(1), жёлтый эллиптический конус вокруг оси x соответствует ν2 = 2/3. Три поверхности пересекаются в точке P (показана чёрным цветом) с декартовыми координатами примерно (1.26, -0.78, 1.34).

Основные определения

Конические координаты определяются выражениями

при этом на координаты накладываются ограничения

Поверхности постоянного r представляют собой сферы радиуса r с центром в начале координат:

поверхности постоянных и являются взаимно перпендикулярными конусами:

и

Масштабные множители

Масштабным множителем для радиуса r является единица (hr = 1), как в сферических координатах. Для конических координат масштабные множители имеют вид

и

Другой вариант определения

Существует другой набор конических координат:[1]

где — сферические полярные координаты. Обратное преобразование:

Малое евклидово расстояние между двумя точками в данных координатах:

Если путь между двумя точками ограничен поверхностью конуса, задаваемого , то геодезическое расстояние между двумя точками и выражается как

Примечания

  1. Drake, Samuel Picton; Anderson, Brian D. O.; Yu, Changbin. Causal association of electromagnetic signals using the Cayley–Menger determinant (англ.) // Applied Physics Letters : journal. — 2009. — 20 July (vol. 95, no. 3). P. 034106. ISSN 0003-6951. doi:10.1063/1.3180815.

Литература

  • Morse P.M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I (неопр.). — New York: McGraw-Hill Education, 1953. — С. 659. — ISBN 0-07-043316-X.
  • Margenau H., Murphy G.M. The Mathematics of Physics and Chemistry (неопр.). — New York: D. van Nostrand, 1956. — С. 183—184.
  • Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (англ.). — New York: McGraw-Hill Education, 1961. — P. 179.
  • Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (неопр.). — New York: Springer Verlag, 1967. — С. 991—100.
  • Arfken G. Mathematical Methods for Physicists (неопр.). — 2nd. — Orlando, FL: Academic Press, 1970. — С. 118—119.
  • Moon P., Spencer D.E. Conical Coordinates (r, θ, λ) // Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (англ.). — corrected 2nd ed., 3rd print. — New York: Springer-Verlag, 1988. — P. 37—40 (Table 1.09). — ISBN 978-0-387-18430-2.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.