Диполярная система координат

Координатные составляющие ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\lambda )}$ диполярной системы, моделирующей магнитный диполь, определяются через сферические координаты ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ так[1]:

${\displaystyle \alpha ={\frac {r}{\sin ^{2}\theta }},\beta ={\frac {\cos \theta }{r^{2}}},\lambda =\varphi .}$

В соответствии с терминологией сферической системы координат здесь ${\displaystyle r}$ — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), ${\displaystyle \theta }$ — зенитный, или полярный, угол, или наклонение, или коширота, ${\displaystyle \varphi }$ — азимутальный угол. Уравнение ${\displaystyle \beta ={\text{const}}}$ определяет эквипотенциальную поверхность магнитного поля, а система уравнений ${\displaystyle \alpha ={\text{const}},\lambda ={\text{const}}}$ — силовую линию.

Значения диполярных координат имеют следующие ограничения:

${\displaystyle 0\leqslant \alpha <+\infty }$, ${\displaystyle -\infty <\beta <+\infty }$, ${\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \lambda <360^{\circ }}$,

причем координаты ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \lambda }$ (а также ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$) не определены при ${\displaystyle \alpha =0}$, а координата ${\displaystyle \lambda }$ (и ${\displaystyle \varphi }$) не определена еще и при ${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$ и ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$.

Переход от компонент некоторого вектора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ в сферических координатах к компонентам в диполярной системе осуществляется по формулам[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{\alpha }\\A_{\beta }\\A_{\lambda }\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {\delta }}}{\begin{pmatrix}\sin \theta &-2\cos \theta &0\\-2\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&0&{\sqrt {\delta }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix}},}$

где

${\displaystyle \delta =1+3\cos ^{2}\theta =1+3\beta ^{2}r^{4}.}$

Пусть ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{\beta }}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }}$ — координатные орты в этой диполярной системе координат. Тогда[1]

${\displaystyle \mathbf {e} _{\beta }\times \mathbf {e} _{\alpha }=\mathbf {e} _{\lambda }}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }\times \mathbf {e} _{\lambda }=\mathbf {e} _{\beta }}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }\times \mathbf {e} _{\beta }=\mathbf {e} _{\alpha }}$,

т. е. так определенная диполярная система координат является, по правилу буравчика, левой.

Выразить однозначно ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ через ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\lambda )}$ не удается, например, уравнения для определения ${\displaystyle r,\theta }$ такие[1]:

${\displaystyle \alpha \beta ^{2}r^{4}+r-\alpha =0,\alpha ^{2}\beta \sin ^{4}\theta -\cos \theta =0.}$

Иногда используют безразмерное расстояние ${\displaystyle {\tilde {r}}={\frac {r}{r_{c}}}}$, где ${\displaystyle r_{c}}$ — некоторое фиксированное расстояние, следующим образом[2]:

${\displaystyle {\tilde {\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\theta }{\tilde {r}}},{\tilde {\beta }}={\frac {\cos \theta }{{\tilde {r}}^{2}}},\lambda =\varphi .}$

Тогда

${\displaystyle \mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}\times \mathbf {e} _{\tilde {\beta }}=\mathbf {e} _{\lambda }}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{\tilde {\beta }}\times \mathbf {e} _{\lambda }=\mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }\times \mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}=\mathbf {e} _{\tilde {\beta }}}$,

т. е. так определенная диполярная система координат является, по правилу буравчика, правой.

Координатные составляющие ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\lambda )}$ диполярной системы, моделирующей магнитный диполь, определяются через декартовы координаты ${\displaystyle (x,y,z)}$ и радиальное расстояние ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ так[1]:

${\displaystyle \alpha ={\frac {r^{3}}{x^{2}+y^{2}}},\beta ={\frac {z}{r^{3}}},\lambda =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}.}$

Выразить однозначно ${\displaystyle (x,y,z)}$ через ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\lambda )}$ не удается[1]:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {r^{3}}}\cos \lambda }{\sqrt {\alpha }}},y={\frac {{\sqrt {r^{3}}}\sin \lambda }{\sqrt {\alpha }}},z=\beta r^{3}.}$

Матрица Якоби перехода от декартовых к диполярным координатам имет вид[1]:

${\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix}\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\cos \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \cos \lambda &-\delta r\sin \theta \sin \lambda \\\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\sin \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \sin \lambda &\delta r\sin \theta \cos \lambda \\3\sin ^{4}\theta \cos \theta &r^{3}(1-3\cos ^{2}\theta )&0\end{pmatrix}}.}$

Матрица Якоби перехода от сферических к диполярным координатам имет вид[1]:

${\displaystyle {\frac {D(r,\theta ,\varphi )}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix}\sin ^{4}\theta &-2r^{3}\cos \theta &0\\-(2\sin ^{3}\theta \cos \theta )/r&-r^{2}\sin \theta &0\\0&0&\delta \end{pmatrix}}.}$

Коэффициенты Ламэ

${\displaystyle H_{\alpha }={\frac {\sin ^{3}\theta }{\sqrt {\delta }}},H_{\beta }={\frac {r^{3}}{\sqrt {\delta }}},H_{\lambda }=r\sin \theta ,H_{\beta }=\alpha ^{2}H_{\alpha }H_{\lambda }.}$

Вторые производные[1]:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}r}{\partial \alpha ^{2}}}=-{\frac {4\sin ^{6}\theta \cos ^{2}\theta (5+3\cos ^{2}\theta )}{r\delta ^{3}}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}r}{\partial \beta ^{2}}}={\frac {2r^{5}(15\cos ^{4}\theta +10\cos ^{2}\theta -1)}{\delta ^{3}}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial \alpha ^{2}}}={\frac {2\sin ^{5}\theta \cos \theta (9\cos ^{4}\theta +16\cos ^{2}\theta -1)}{r^{2}\delta ^{3}}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial \beta ^{2}}}={\frac {r^{4}\sin \theta \cos \theta (9\cos ^{2}\theta +11)}{\delta ^{3}}}.}$

Пусть ${\displaystyle f}$ — некоторая скалярная функция. Ее первые производные в диполярных и сферических координатах связаны[1]:

${\displaystyle \delta {\frac {\partial f}{\partial \alpha }}=\sin ^{4}\theta {\frac {\partial f}{\partial r}}-2{\frac {\sin ^{3}\theta \cos \theta }{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }},}$

${\displaystyle \delta {\frac {\partial f}{\partial \beta }}=-2r^{3}\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial r}}-r^{2}\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }},}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \lambda }}={\frac {\partial f}{\partial \varphi }},}$

или

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}-{\frac {2\cos \theta }{r^{3}}}{\frac {\partial f}{\partial \beta }},}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \theta }}=-2r{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}-{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \beta }},}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \varphi }}={\frac {\partial f}{\partial \lambda }}.}$

Ее оператор Лапласа равен[1]

${\displaystyle \Delta f={\frac {4}{r\sin ^{4}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}+{\frac {\delta }{\sin ^{6}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\delta }{r^{6}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \beta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \lambda ^{2}}}.}$

Координаты векторных дифференциальных операторов в диполярной системе следующие[1]:

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\mathbf {e} _{\alpha }+{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial f}{\partial \beta }}\mathbf {e} _{\beta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \lambda }}\mathbf {e} _{\lambda },}$

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {A} ={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial \alpha }}+4{\frac {1-3\cos ^{4}\theta }{{\sqrt {\delta }}^{3}r\sin \theta }}A_{\alpha }+{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial \beta }}\;-}$

${\displaystyle -\;3{\frac {\cos \theta (3+5\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\beta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \lambda }},}$

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {A} =\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial \lambda }}-{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \beta }}+{\frac {3\cos \theta }{{\sqrt {\delta }}r}}A_{\lambda }\right)\mathbf {e} _{\alpha }\;+}$

${\displaystyle +\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \alpha }}-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial \lambda }}+{\frac {1-3\cos ^{2}\theta }{{\sqrt {\delta }}r\sin \theta }}A_{\lambda }\right)\mathbf {e} _{\beta }\;+}$

${\displaystyle +\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial \beta }}-{\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial \alpha }}-6{\frac {\cos \theta (1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\alpha }\;-\right.}$

${\displaystyle -\;\left.3{\frac {\sin \theta (1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\beta }\right)\mathbf {e} _{\lambda }.}$