Координаты Борна

В неподвижной системе отсчёта окружность описывается двумя координатами ${\displaystyle (T,\,\Phi )}$, в которых метрика имеет вид:

${\displaystyle ds^{2}=dT^{2}-R^{2}\,d\Phi ^{2}}$

(${\displaystyle R}$ — радиус окружности, скорость света полагается равной единице).

Вращение окружности описывается формулой

${\displaystyle \Phi =\varphi +\omega T}$,

где ${\displaystyle \Phi }$ — угловая координата в пространстве, ${\displaystyle \varphi }$ — положение точки на окружности, ${\displaystyle \omega }$ — круговая частота, а T — время неподвижной системы отсчёта.

Если мы рассмотрим одну точку окружности (то есть зафиксируем ${\displaystyle \varphi }$), то её мировая линия будут представлять собой винтовую линию. Собственное время точек окружности определяется как

${\displaystyle {\sqrt {1-\omega ^{2}R^{2}}}\ T.}$

Координатами Борна на окружности называется система координат ${\displaystyle (T,\;\varphi )}$. Эти две координаты не являются ортогональными.

Метрика будет выглядеть как

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-\omega ^{2}\,R^{2}\right)\,dT^{2}-2\,\omega \,R^{2}\,dT\,d\varphi -R^{2}\,d\varphi ^{2}.}$

Пространственно-временная геометрия координат Борна на диске. Красные кривые — мировые линии точек диска (фиксированы ${\displaystyle \scriptstyle {r,\;\varphi }}$). Чередующиеся синие и серые полосы показывают изменение ${\displaystyle \scriptstyle T}$. Оранжевые кривые (/ \) — светоподобные кривые с постоянным ${\displaystyle \scriptstyle r}$. Внизу справа — трёхмерное изображение. Сверху — развёртки цилиндров для трёх разных ${\displaystyle \scriptstyle r}$, повёрнутые так, чтобы направление собственного времени стало вертикальным.

Если рассмотреть равномерно вращающийся, как единое целое, диск (то есть круг), то добавляется третья координата: ${\displaystyle r}$.

При этом ${\displaystyle \omega }$ по-прежнему постоянно.

В таком случае множители будут зависеть от радиуса ${\displaystyle r}$.

Метрика будет выглядеть как

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-\omega ^{2}\,r^{2}\right)\,dT^{2}-2\,\omega \,r^{2}\,dT\,d\varphi -dr^{2}-r^{2}\,d\varphi ^{2}.}$

На рисунке видно, как с возрастанием ${\displaystyle r}$ и приближением линейной скорости вращения к световой система из двух координат ${\displaystyle (T,\;\varphi )}$ становятся всё менее похожа на ортогональную.

Скорость света относительно «времени» ${\displaystyle T}$ по ходу вращения уменьшается, а против вращения — возрастает.

Разумеется, радиус диска не может превосходить ${\displaystyle {\frac {c}{\omega }}}$, поскольку на этом удалении от оси вращения наша вращающаяся система отсчёта разгоняется до световой скорости.

• Координаты Риндлера

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 4-е, исправленное и дополненное. — М.: Физматгиз, 1962. — 424 с. — («Теоретическая физика», том II).