Матрица Якоби

Пусть задано отображение ${\displaystyle \mathbf {u}$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m})^{T},u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,} имеющее в некоторой точке ${\displaystyle x}$ все частные производные первого порядка. Матрица ${\displaystyle J}$, составленная из частных производных этих функций в точке ${\displaystyle x}$, называется матрицей Якоби данной системы функций.

${\displaystyle J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}$

Иными словами, матрица Якоби является производной векторной функции от векторного аргумента.

• Если ${\displaystyle m=n}$, то определитель ${\displaystyle |J|}$ матрицы Якоби называется определителем Якоби или якобиа́ном системы функций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$.
• Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимально возможный ранг; то есть,

  ${\displaystyle \mathrm {rank} \,J=\min(m,n)}$

• Если все ${\displaystyle u_{i}}$ непрерывно дифференцируемы в окрестности ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$, то

  ${\displaystyle \mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|)}$

• Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}}$ — дифференцируемые отображения, ${\displaystyle J_{\varphi },J_{\psi }}$ — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):

  ${\displaystyle J_{\psi \circ \varphi }(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x)}$

• Якобиан