Ранг матрицы

Пусть ${\displaystyle A_{m\times n}}$ — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы ${\displaystyle A}$ является:

• ноль, если ${\displaystyle A}$ — нулевая матрица;
• число ${\displaystyle r\in \mathbb {N}$ :\;\exists M_{r}\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0} , где ${\displaystyle M_{r}}$ — минор матрицы ${\displaystyle A}$ порядка ${\displaystyle r}$, а ${\displaystyle M_{r+1}}$ — окаймляющий к нему минор порядка ${\displaystyle (r+1)}$, если они существуют.

• Ранг матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ называют полным, если ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\min\{m,n\}}$.
• Базисный минор матрицы ${\displaystyle A}$ — любой ненулевой минор матрицы ${\displaystyle A}$ порядка ${\displaystyle r}$, где ${\displaystyle r=\operatorname {rang} A}$.
  • Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Теорема (о базисном миноре): Пусть ${\displaystyle r=\operatorname {rang} A,M_{r}}$ — базисный минор матрицы ${\displaystyle A}$, тогда:

• базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
• любая строка (столбец) матрицы ${\displaystyle A}$ есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Следствия:

• Если ранг матрицы равен ${\displaystyle r}$, то любые ${\displaystyle p\colon p>r}$ строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
• Если ${\displaystyle A}$ — квадратная матрица, и ${\displaystyle \det A=0}$, то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
• Пусть ${\displaystyle r=\operatorname {rang} A}$, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно ${\displaystyle r}$.

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение ${\displaystyle A\sim B}$ для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если ${\displaystyle A\sim B}$, то их ранги равны.

Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Неравенство Сильвестра: Если A и B матрицы размеров ${\displaystyle m\times n}$ и ${\displaystyle n\times k}$, то

${\displaystyle \operatorname {rang} AB\geq \operatorname {rang} A+\operatorname {rang} B-n}$

Это частный случай следующего неравенства.

Неравенство Фробениуса: Если AB, BC, ABC корректно определены, то

${\displaystyle \operatorname {rang} ABC\geq \operatorname {rang} AB+\operatorname {rang} BC-\operatorname {rang} B}$

Пусть ${\displaystyle A}$ — матрица размера ${\displaystyle m\times n}$ над полем ${\displaystyle C}$ (или ${\displaystyle R}$). Пусть ${\displaystyle T}$ — линейное преобразование, соответствующее ${\displaystyle A}$ в стандартном базисе; это значит, что ${\displaystyle T(x)=Ax}$. Ранг матрицы ${\displaystyle A}$ — это размерность образа преобразования ${\displaystyle T}$.

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

Метод элементарных преобразований. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице ${\displaystyle A}$ найден ненулевой минор ${\displaystyle k}$-го порядка ${\displaystyle M}$. Рассмотрим все миноры ${\displaystyle (k+1)}$-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор ${\displaystyle M}$; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен ${\displaystyle k}$. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

• Эрнест Винберг. Курс алгебры (рус.) (5 сентября 2017). Дата обращения: 24 августа 2018.