Линейная независимость

В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ векторы ${\displaystyle (1,0,0)}$, ${\displaystyle (0,1,0)}$ и ${\displaystyle (0,0,1)}$ линейно независимы, так как уравнение

${\displaystyle a_{1}\cdot (1,0,0)+a_{2}\cdot (0,1,0)+a_{3}\cdot (0,0,1)=(0,0,0)\quad a_{i}\in \mathbb {R} }$

имеет только одно — тривиальное — решение.

Векторы ${\displaystyle (1,0,0)}$ и ${\displaystyle (5,0,0)}$ являются линейно зависимыми, так как

${\displaystyle (1,0,0)\cdot 5=(5,0,0),}$

а, значит,

${\displaystyle -5\cdot (1,0,0)+1\cdot (5,0,0)=(0,0,0).}$

Пусть ${\displaystyle V}$ будет линейное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle M\subseteq V}$. ${\displaystyle M}$ называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество ${\displaystyle M'=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}}$ называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть все её коэффициенты равны нулю:

${\displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}=0\quad \Rightarrow \quad a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0.}$

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$, ${\displaystyle M'}$ называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается ${\displaystyle 0\in V}$, а во втором ${\displaystyle 0\in K}$.

• ${\displaystyle 0\in M\Rightarrow M}$ линейно зависимо.
• ${\displaystyle M}$ линейно независимо ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle M'}$ линейно независимо для всех ${\displaystyle M'\subseteq M}$.
• ${\displaystyle M}$ линейно зависимо ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle M'}$ линейно зависимо для всех ${\displaystyle M'\supseteq M}$.

Линейные системы уравнений

Линейная система ${\displaystyle n}$ уравнений, где ${\displaystyle n}$ — количество переменных, имеет однозначное решение тогда и только тогда, когда столбцы её основной матрицы являются линейно независимыми.

Ранг матриц

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов.

Геометрический смысл

• Векторы ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых).
• Векторы ${\displaystyle {\vec {a}},\;{\vec {b}},\;{\vec {c}}}$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости).

Базис

Базис линейного пространства является максимальным множеством линейно независимых векторов (максимальность понимается в том смысле, что при добавлении к этому множеству любого вектора этого пространства новое множество уже не будет линейной независимым).

• Базис
• Ранг матрицы
• Система линейных уравнений
• Аффинная независимость