Векторное исчисление

В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д.[3]. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел[4]

Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра, в которой исследуются алгебраические операции над тензорами[5].

Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора, циркуляция вектора,[6]. Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:

• Градиент
• Теорема о дивергенции вектора;
• Теорема о циркуляции вектора;
• Уравнение Лапласа;
• Уравнение Пуассона;
• Теорема разложения Гельмгольца;
• Теорема Умова[7].

Расширением векторного анализа является тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре ${\displaystyle D\left(M\right)}$. Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении[8].

Функциональный анализ является частью современного математического анализа, основной целью которого является изучение функций ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$, где по крайней мере одна из переменных ${\displaystyle x,\,y}$ меняется по бесконечному пространству[9].

Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений[10], в теории обработки сигналов[11], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений[12], алгебраической геометрии[13] и т. д.