Лямбда-матрица

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.

Пусть ${\displaystyle A\left(\lambda \right)}$ и ${\displaystyle B\left(\lambda \right)}$ — λ-матрицы порядков ${\displaystyle \ l}$ и ${\displaystyle \ m}$ соответственно, и ${\displaystyle \ k=max(l,m)}$, тогда

${\displaystyle A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0}}$;

${\displaystyle B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_{0}}$,

где хотя бы одна из матриц ${\displaystyle \ A_{k},B_{k}}$ — ненулевая, имеем

${\displaystyle A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0})}$;

${\displaystyle A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_{0})}$;

Предположим, что ${\displaystyle \ B(\lambda )}$ — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы ${\displaystyle \ Q(\lambda ),R(\lambda )}$ с ${\displaystyle \ R(\lambda )\equiv 0}$ или со степенью ${\displaystyle \ R(\lambda )}$, меньшей степени ${\displaystyle \ B(\lambda )}$, что

${\displaystyle \ A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )}$.

В этом случае ${\displaystyle \ Q(\lambda )}$ называется правым частным ${\displaystyle \ A(\lambda )}$ при делении на ${\displaystyle \ B(\lambda )}$, а ${\displaystyle \ R(\lambda )}$ — правым остатком. Подобно этому ${\displaystyle {\hat {Q}}(\lambda )}$ и ${\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )}$ — левое частное и левый остаток при делении ${\displaystyle \ A(\lambda )}$ на ${\displaystyle \ B(\lambda )}$, если

${\displaystyle A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )}$

и ${\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )\equiv 0}$ или степень ${\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )}$ меньше степени ${\displaystyle \ B(\lambda )}$.

Если правый (левый) остаток равен 0, то ${\displaystyle \ Q(\lambda )}$ ${\displaystyle ({\hat {Q}}(\lambda ))}$ называется правым (левым) делителем ${\displaystyle \ A(\lambda )}$ при делении на ${\displaystyle \ B(\lambda )}$.

Если ${\displaystyle \ B(\lambda )}$ — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении ${\displaystyle \ A(\lambda )}$ на ${\displaystyle \ B(\lambda )}$ существуют и единственны.

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы ${\displaystyle \ A(\lambda )}$ на ${\displaystyle \ \lambda E-B}$, где ${\displaystyle \ E}$ — единичная матрица является ${\displaystyle \ A(B)}$ и ${\displaystyle {\hat {A}}(B)}$ соответственно.

Свойство доказывается через разложение на множители:

${\displaystyle \ \lambda ^{j}E-B^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B)}$,

при умножении обеих частей этого равенства на ${\displaystyle \ A_{j}}$ слева и сложении всех полученных равенств при ${\displaystyle \ j=1,\cdots ,l}$, правая часть будет иметь вид ${\displaystyle \ C(\lambda )(\lambda E-B)}$, где ${\displaystyle \ C(\lambda )}$ — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A(B)}$.

Таким образом:

${\displaystyle \ A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda E-B)+A(B)}$.

Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного на ${\displaystyle \ A_{j}}$ справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица ${\displaystyle \ A(\lambda )}$ делилась без остатка на ${\displaystyle \ \lambda E-B}$ справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \ A(B)=0}$ ${\displaystyle \left({\hat {A}}(B)=0\right)}$.