Нормаль

Векторы нормали в точках поверхности

Вектор нормали (или орт нормали) к поверхности в данной точке — единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.

Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным полем векторов нормали. В противном случае поверхность называют односторонней или неориентируемой. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса.

Пусть ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$ — векторное уравнение кривой. Тогда направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: ${\displaystyle [[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} '].}$ В случае естественной параметризации кривой (её длиной дуги) орт главной нормали[3] равен ${\displaystyle \mathbf {r} ''}$.

Векторное уравнение бинормали в точке ${\displaystyle t=t_{0}}$ имеет вид:

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r}}''(t_{0})].}$

Уравнение нормальной плоскости[3] в точке ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t_{0})=\{x_{0},y_{0},z_{0}\}}$:

${\displaystyle x'_{0}(x-x_{0})+y'_{0}(y-y_{0})+z'_{0}(z-z_{0})=0}$

Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке ${\displaystyle (x_{0},\ y_{0})}$ имеет следующий вид.

Способ задания плоской кривой	Уравнение кривой	Уравнение нормали
Параметрическое задание	${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$	${\displaystyle y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(x-x_{0})}$
Явное задание	${\displaystyle y=f(x)}$	${\displaystyle y=y_{0}-{\frac {x-x_{0}}{y_{0}'}}}$
Неявное задание	${\displaystyle F(x,y)=0}$	${\displaystyle y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(x-x_{0})}$

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью Поверхность). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина конуса — в ней не существует касательной плоскости.

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	Координаты нормали в точке поверхности
параметрическое задание: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)}$	${\displaystyle {\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}}$
неявное задание: ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$	${\displaystyle {\frac {\left({\frac {\partial F}{\partial x}};\,{\frac {\partial F}{\partial y}};\,{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}}}$
явное задание: ${\displaystyle z=f(x,y)}$	${\displaystyle {\frac {\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}};\,-{\frac {\partial f}{\partial y}};\,1\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}}}$

Здесь ${\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v}\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}}$. Все производные берутся в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$. Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции ${\displaystyle F(x,y,z)}$ совпадает с направлением её градиента.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол ${\displaystyle \theta }$. Тогда кривизна ${\displaystyle k}$ кривой связана с кривизной ${\displaystyle k_{n}}$ нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье[4]:

${\displaystyle k_{n}=\pm k\,\cos \,\theta }$

Кривизна ${\displaystyle k_{n}}$ нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых главными направлениями. На сфере, на торцах эллипсоида {итп}} кривизна постоянна, и все направления — главные[5].

• Нормаль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 4-е изд. — М.: ГИТТЛ, 1956.

• Нормаль // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.