Спектральное разложение матрицы

Вещественная ${\displaystyle 2\times 2}$ матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}}$

может быть приведена к диагональному виду путём умножения на невырожденную матрицу ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}$

Тогда

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}$

для некоторой вещественной диагональной матрицы ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}x&0\\0&y\end{smallmatrix}}\right]}$.

Умножив обе стороны равенства слева на ${\displaystyle \mathbf {B} }$, получим:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}$

Равенство выше может быть разложено на две системы уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}.}$

Выносим собственные значения x и y:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$

Получаем

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},\quad {\overrightarrow {b}}={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}},}$

что даёт нам два векторных уравнения:

${\displaystyle {\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}}$

Последняя система может быть представлена одним векторным равенством, вовлекающих два решения собственных значений:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$,

где ${\displaystyle \lambda }$ представляет два собственных значения x and y, а ${\displaystyle \mathbf {P} }$ представляет вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$.

Перенося ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} }$ в левую часть и вынеся ${\displaystyle \mathbf {u} }$, получим

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )\mathbf {u} =\mathbf {0} }$

Поскольку матрица ${\displaystyle \mathbf {B} }$ не вырождена, важно, чтобы вектор ${\displaystyle \mathbf {u} }$ не был нулевым. Поэтому,

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )=0}$

Тогда

${\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}$

даёт нам решения собственных значений для матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ как ${\displaystyle \lambda =1}$ или ${\displaystyle \lambda =3}$, а результирующая диагональная матрица из разложения матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ тогда равна ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]}$.

Если подставить решения обратно в систему уравнений выше получим

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$

Решив уравнения, мы получим

${\displaystyle a=-2c\quad {\text{и}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .}$

Тогда матрица ${\displaystyle \mathbf {B} }$, требуемая для разложения матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ равна

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,}$

То есть:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} }$

Если матрицу ${\displaystyle \mathbf {A} }$ имеет спектральное разложение и если никакое из собственных значений матрицы не равно нулю, матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является невырожденной и её обратная задаётся равенством

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$

Если матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является симметричной матрицей, то поскольку ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ образуется из собственных векторов матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$, она гарантированно будет ортогональной, а поэтому ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }}$. Более того, поскольку ${\displaystyle \Lambda }$ является диагональной, её обратную легко вычислить:

${\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}$

Если разложение с помощью собственных векторов используется для матрицы, полученной при измерениях с реальными данными, обратная матрица может быть хуже обусловлена, если все собственные значения используются в неизменной форме. Дело в том, что когда собственные значения становятся относительно малыми, вклад их обратных в обратную матрицу велик. Эти близкие к нулю значения или «шум» системы измерения будет иметь чрезмерное влияние и может помешать решению с помощью обращения.

Было предложено два варианта смягчения последствий: отбрасывание малых или нулевых собственных значений и копирование наименьшего надёжного значения в более маленькие.

Первый вариант смягчения подобен разрежению исходной матрицы, в которой удаляются элементы, которые посчитали незначимыми. Однако, если процесс решения окажется близок к уровню шума, откидывание может удалить компоненты, которые влияют на желаемое решение.

Второй вариант смягчения копирует собственное значение, так что меньшие значения имеют меньшее влияние на результат обращения, но по-прежнему вносят вклад, так что могут быть найдены решения, даже близкие к уровню шума.

Надёжное собственное значение может быть найдено в предположении, что собственные значения крайне близки и низкое значение является хорошим представлением шума измерения (который предполагается низким для большинства систем).

Если собственные значения выстроены по величине, надёжное собственное значение может быть найдено путём минимизации лапласиана отсортированных собственных значений[5]:

${\displaystyle \min \left|\nabla ^{2}\lambda _{\mathrm {s} }\right|}$,

где собственные значения помечены буквой s для обозначения сортировки (от английского sorted). Место минимума является наименьшим надёжным собственным значением. В системах измерения квадратный корень из этого надёжного собственного значения является средним шумом относительно других компонент системы.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{2}&=\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \left(\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {Q} \right)\mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{2}\mathbf {Q} ^{-1}\\\mathbf {A} ^{n}&=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{n}\mathbf {Q} ^{-1}\\\exp {\mathbf {A} }&=\mathbf {Q} \exp {(\mathbf {\Lambda } )}\mathbf {Q} ^{-1}\end{aligned}}}$

которые являются примерами для функций ${\displaystyle f(x)=x^{2},\;f(x)=x^{n},\;f(x)=\exp {x}}$. Более того, ${\displaystyle \exp {\mathbf {A} }}$ является экспонентой матрицы.

Комплексная квадратная матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ нормальна (что означает, что ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\ast }\mathbf {A} =\mathbf {AA} ^{\ast }}$, где ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\ast }}$ является эрмитово-сопряжённой) тогда и только тогда, когда она может быть разложена

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$

где ${\displaystyle \mathbf {U} }$ является унитарной (что означает, что ${\displaystyle \mathbf {U} ^{\ast }=\mathbf {U} ^{-1}}$) и ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } =diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ является диагональной матрицей[6]. Столбцы ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$ матрицы ${\displaystyle \mathbf {U} }$ образуют ортонормальный базис и являются собственными векторами матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ с соответствующими собственными значениями ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$.

Если класс матриц ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ограничен эрмитовыми матрицами (${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\ast }}$), то ${\displaystyle \Lambda }$ имеет только вещественные значения. Если класс матриц ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ограничен унитарными матрицами, то все значения ${\displaystyle \Lambda }$ лежат на комплексной единичной окружности, то есть, ${\displaystyle |\lambda _{i}|=1}$.

Для любой вещественной ${\displaystyle n\times n}$ симметричной матрицы собственные значения вещественны и собственные вектора можно выбрать вещественными и ортонормальными. Таким образом, вещественная симметричная матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ может быть разложена в

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ — ортогональная матрица, столбцами которой служат собственные вектора матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$, а ${\displaystyle \Lambda }$ — диагональная матрица, у которой значения на диагонали равны собственным значениям матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$[7].

• Если матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ эрмитова и имеет полный ранг, базис собственных векторов можно выбрать взаимно ортогональным. Собственные значения вещественны.
• Собственные вектора матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ те же самые, что и собственные вектора матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• Собственные вектора определены с точностью до постоянного множителя. То есть, если ${\displaystyle \mathbf {Av} =\lambda \mathbf {v} }$, то ${\displaystyle c\mathbf {v} }$ является также собственным вектором для любого скаляра c ≠ 0. В частности, ${\displaystyle -\mathbf {v} }$ и ${\displaystyle e^{i\theta }\mathbf {v} }$ (для любого ${\displaystyle \theta }$) также являются собственными векторами.
• В случае вырожденных собственных значений (собственное значение появляются более одного раза), собственные вектора имеют дополнительную степень свободы вращения, то есть любая линейная (ортонормальная) комбинация собственных векторов с одним и тем же собственным значением является сама собственным вектором.

• Матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ может быть разложена с помощью собственных векторов тогда и только тогда, когда число линейно независимых собственных векторов ${\displaystyle N_{\mathbf {v} }}$ равно размерности собственного вектора: ${\displaystyle N_{\mathbf {v} }=N\,}$
• Если ${\displaystyle p(\lambda )}$ не имеет кратных корней, то есть, если ${\displaystyle N_{\lambda }=N,}$, то ${\displaystyle \mathbf {A} }$ может быть разложена.
• Из утверждения «матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ может быть разложена» не следует, что ${\displaystyle \mathbf {A} }$ имеет обратную.
• Из утверждения «матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ имеет обратную » не следует, что ${\displaystyle \mathbf {A} }$ может быть разложено с помощью собственных векторов. Контрпримером является матрица ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$, которая является обратимой дефектной матрицей.

• Матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ обратима тогда и только тогда, когда

  ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0\quad \forall \,i}$

• Если ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}$ и ${\displaystyle N_{\mathbf {v} }=N}$, обратная матрица задаётся равенством

  ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$

Предположим, что требуется вычислить собственные значения заданной матрицы. Если размеры матрицы малы, собственные значения могут быть вычислены символьно с помощью характеристического многочлена. Однако это часто невозможно для больших матриц, и в этом случае используются численные методы.

На практике собственные значения больших матриц не вычисляются с помощью характеристического многочлена. Вычисление многочлена становится само по себе трудоёмким и затратным по времени, а точные (символьные) корни многочлена высокой степени трудно вычислить и выразить — из теоремы Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах следует, что корни многочленов высокой степени (5 и выше) не могут быть в общем случае представлены как выражения от корней n-ой степени. По этой причине общие алгоритмы поиска собственных векторов и собственных значений работают итеративно.

Существуют итеративные численные алгоритмы аппроксимации корней многочленов, такие как метод Ньютона, но, как правило, непрактично строить характеристический многочлен, а затем применять эти методы. Одной из причин является то, что малые ошибки округления в коэффициентах характеристического многочлена могут привести к большим ошибкам в собственных значениях и собственных векторах — корни являются крайне плохо обусловленной функцией от коэффициентов[8].

Простым и точным итеративным методом является степенной метод — выбирается случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ и вычисляется последовательность единичных векторов

${\displaystyle {\frac {\mathbf {A} \mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} \mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} \right\|}},\ldots }$

Эта последовательность почти всегда сходится к собственному вектору, соответствующему собственному значению наибольшей величины, при условии что у вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$ соответствующая этому собственному вектору компонента в базисе из собственных векторов ненулевая (а также при условии, что имеется только одно собственное значение наибольшей величины). Этот простой алгоритм полезен в некоторых практических приложениях. Например, Google использует его для вычисления ссылочного ранжирования документов в их поисковике[9]. Также степенной метод является отправной точкой для многих других сложных алгоритмов. Например, если хранить не только последний вектор последовательности, а смотреть в линейной оболочке всех векторов последовательности, можно получить лучшую (сходящуюся быстрее) аппроксимацию собственного вектора, и эта идея является основой итерации Арнольди[8]. Также важный QR-алгоритм также основан на слегка изменённом степенном методе[8].

Если собственные значения вычислены, собственные вектора можно вычислить путём решения уравнения

${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {E} \right)\mathbf {v} _{i,j}=0}$

с помощью исключения Гаусса или любого другого метода решения матричного уравнения.

Однако, в практических методах нахождения собственных значений матриц большого размера собственные вектора обычно вычисляются другими способами как побочный продукт вычисления собственного значения. В степенном методе, например, собственный вектор, в общем-то, вычисляется перед вычислением собственного значения (который обычно вычисляется согласно отношению Рэлея для собственного вектора)[8]. В QR-алгоритме для эрмитовой матрицы (или любой нормальной матрицы), ортонормальные собственные вектора получаются как произведение матриц ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ из шагов алгоритма[8]. (Для матриц более общего вида QR-алгоритм сначала осуществляет разложение Шура, из которого собственные вектора могут быть получены обратной подстановкой[10]) Для эрмитовых матриц алгоритм поиск собственных значений «разделяй и властвуй» более эффективен чем QR-алгоритм, если нужны как собственные вектора, так и собственные значения[8].

Напомним, что геометрическую кратность собственного значения можно описать как размерность связанного собственного пространства, ядра матрицы ${\displaystyle \lambda \mathbf {E} -\mathbf {A} }$. Алгебраическая кратность может также рассматриваться как размерность — это размерность связанного обобщённого собственного пространства (в 1-м смысле), которое является ядром матрицы ${\displaystyle (\lambda \mathbf {E} -\mathbf {A} )^{k}}$ для любого достаточно большого k. То есть, это пространство обобщённых собственных векторов (в первом смысле), где обобщённый собственный вектор — это любой вектор, который рано или поздно станет 0, если применить ${\displaystyle \lambda \mathbf {E} -\mathbf {A} }$ достаточное число раз. Любой собственный вектор является обобщённым собственным вектором, а потому любое собственное пространство содержится в связанном обобщённом собственном пространстве. Это даёт простое доказательство, что геометрическая кратность никогда не превосходит алгебраическую кратность.

Такое использование не следует путать с обобщённой задачей собственных значений, описанной ниже.

Сопряжённый собственный вектор — это вектор, который после линейного преобразования переходит в (с точностью до умножения на скаляр) в свой сопряжённый. Скаляр тогда называется сопряжённым собственным значением линейного преобразования. Сопряжённые собственные вектора и значения представляют, по сути дела, ту же самую информацию, что и обычные собственные вектора и собственные значения, но возникают в случае использования других систем координат. Соответствующим равенством будет

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ^{*}.}$

Например, в теории когерентного электромагнитного рассеяния линейное преобразование ${\displaystyle \mathbf {A} }$ представляет действие, осуществляемое рассеивающим объектом, а собственные вектора представляют поляризационные состояния электромагнитной волны. В оптике координатная система определяется с волновой точки зрения, известной как выравнивание прямого рассеивания (англ. Forward Scattering Alignment, FSA), и порождает уравнения обычных собственных значений, в то время как в радарах координатная система определяется со стороны радара, она известна как выравнивание обратного рассеивания (англ. Back Scattering Alignment, BSA) и порождает уравнения для сопряжённых собственных векторов.

Обобщённая задача нахождения собственных значений (во втором смысле) — это задача нахождения вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$, удовлетворяющего равенству

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {B} \mathbf {v} }$

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ являются матрицами. Если ${\displaystyle \mathbf {v} }$ удовлетворяет этому равенству для некоторого ${\displaystyle \lambda }$, то мы называем ${\displaystyle \mathbf {v} }$ обобщённым собственным вектором матриц ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ (во втором смысле), а ${\displaystyle \lambda }$ называется обобщённым собственным значением матриц ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ (во втором смысле), соответствующим обобщённому собственному вектору ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Возможные значения ${\displaystyle \lambda }$ должны удовлетворять следующему равенству

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {B} )=0.}$

Если можно найти ${\displaystyle n}$ линейно независимых векторов ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$, таких что для любого ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$, ${\displaystyle \mathbf {Av} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {Bv} _{i}}$, мы определяем матрицы ${\displaystyle \mathbf {P} }$ и ${\displaystyle \mathbf {D} }$ следующим образом

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}(\mathbf {v} _{1})_{1}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{1}\\\vdots &&\vdots \\(\mathbf {v} _{1})_{n}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle (D)_{ij}={\begin{cases}\lambda _{i},&{\text{если }}i=j\\0,&{\text{иначе}}\end{cases}}}$

Тогда выполняется следующее равенство

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$

Доказательство

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {A} {\begin{pmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|&&|\\A\mathbf {v} _{1}&\cdots &A\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|&&|\\\lambda _{1}B\mathbf {v} _{1}&\cdots &\lambda _{n}B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|&&|\\B\mathbf {v} _{1}&\cdots &B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}\mathbf {D} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} }$

А поскольку ${\displaystyle \mathbf {P} }$ обратима, умножим на эту обратную и получим требуемый результат.

Множество матриц вида ${\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {B} }$, где ${\displaystyle \lambda }$ — комплексное число, называется пучком. Термин пучок матриц может относиться также к паре матриц ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$[11].

Если матрица ${\displaystyle \mathbf {B} }$ обратима, то исходную задачу можно переписать в виде

${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

что является стандартной задачей собственных значений. В большинстве ситуаций, однако, нежелательно осуществлять это обращение, а решать обобщённую задачу собственных значений. Это особенно важно, если матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ эрмитовы, поскольку в этом случае ${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} }$ в общем случае обычно не эрмитова и важные свойства решения больше не проявляются.

Если обе матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ симметричны и эрмитовы и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ является кроме того положительно определённой, собственные значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$ вещественны и собственные вектора ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ с различными собственные значения ${\displaystyle \mathbf {B} }$-ортогональны (${\displaystyle \mathbf {v} _{1}^{\ast }\mathbf {Bv} _{2}=0}$)[12]. В этом случае собственные вектора можно выбрать так, что матрица ${\displaystyle \mathbf {P} }$, определённая выше, удовлетворяет условиям

${\displaystyle \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} \mathbf {P} =\mathbf {E} }$ or ${\displaystyle \mathbf {P} \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} =\mathbf {E} }$,

и существует базис обобщённых собственных векторов (он не является дефектной матрицей)[11]. Этот случай иногда называется эрмитово определённым пучком[11].