Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы ${\displaystyle M}$ с элементами из некоторого поля ${\displaystyle K}$ невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

• ${\displaystyle M}$ обратима, то есть существует обратная матрица[1];
• строки (столбцы) матрицы ${\displaystyle M}$ линейно независимы[2];
• ранг матрицы ${\displaystyle M}$ равен её размерности[3].

Совокупность всех невырожденных матриц порядка ${\displaystyle n}$ образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Полная линейная группа обычно обозначается как ${\displaystyle GL(n)}$[4]. Если требуется явно указать, какому полю ${\displaystyle K}$ должны принадлежать элементы матрицы, то пишут ${\displaystyle GL(n,K)}$[5]. Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка ${\displaystyle n}$ обозначается ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$, а если комплексные числа, то ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$.

Матрица порядка ${\displaystyle n}$ заведомо невырождена, если это[6]:

• диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу ${\displaystyle D(n,K)}$);
• верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу ${\displaystyle T(n,K)}$);
• нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;
• унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу ${\displaystyle UT(n,K)}$).