Вырожденная матрица

Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности:

• Строки или столбцы матрицы линейно зависимы. В частном случае, если в вырожденной матрице существует как минимум две строки (или два столбца) ${\displaystyle {\bf {{x}_{i}}}}$ и ${\displaystyle {\bf {{x}_{j},}}}$ отвечающие условию ${\displaystyle a{\bf {{x}_{i}={\bf {{x}_{j},}}}}}$ где a — скаляр, то матрица будет вырожденной. Отсюда следует и тривиальный случай, что вырождена любая квадратная матрица, содержащая нулевой столбец или строку.
• Квадратная матрица ${\displaystyle A}$ вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор ${\displaystyle x,}$ такой, что ${\displaystyle Ax=0.}$ Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро.
• Квадратная матрица ${\displaystyle A}$ вырождена тогда и только тогда, когда у неё есть хотя бы одно нулевое собственное значение ${\displaystyle \lambda =0.}$ Это вытекает из уравнения, которому удовлетворяют все собственные значения матрицы: ${\displaystyle \det(A-\lambda E)=0}$ (где E — единичная матрица), а также из того факта, что определитель матрицы равен произведению её собственных значений.

• У вырожденной матрицы нет стандартной обратной матрицы. В то же время у вырожденной матрицы есть псевдообратная матрица (обобщённая обратная матрица) или даже их бесконечное количество.
• Ранг вырожденной матрицы меньше её размера (числа строк).
• Произведение вырожденной матрицы и любой квадратной матрицы с тем же размером даёт вырожденную матрицу. Это вытекает из свойства ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B).}$ Вырожденная матрица, возведённая в любую целую положительную степень, остаётся вырожденной. Произведение любого количества матриц вырождено тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей вырожден. Произведение невырожденных матриц не может быть вырожденным.
• Транспонирование вырожденной матрицы оставляет её вырожденной (поскольку транспонирование не изменяет определитель матрицы, ${\displaystyle \det(A^{T})=\det(A)}$).
• Умножение вырожденной матрицы на скаляр оставляет её вырожденной (поскольку ${\displaystyle \det(\alpha A)=\alpha ^{n}\det(A)=0}$, где n — размер вырожденной матрицы A, α — скаляр).
• Эрмитово-сопряжённая матрица вырожденной матрицы вырождена (поскольку определитель эрмитово-сопряжённой матрицы комплексно сопряжён с определителем исходной матрицы и, следовательно, равен нулю).
• Союзная (взаимная, присоединённая) матрица вырожденной матрицы вырождена (это вытекает из свойства союзных матриц ${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1}}$). Произведение вырожденной матрицы на союзную ей матрицу даёт нулевую матрицу: ${\displaystyle A\cdot \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\cdot A=0,}$ поскольку для произвольной квадратной матрицы ${\displaystyle A\cdot \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot E.}$
• Треугольная (и, в частности, диагональная) матрица вырождена тогда и только тогда, когда хотя бы один из её элементов на главной диагонали нулевой. Это вытекает из того, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали.
• Если матрица A вырождена, то система уравнений ${\displaystyle Ax=0}$ имеет ненулевые решения.
• Перестановка строк или столбцов вырожденной матрицы даёт вырожденную матрицу.
• Вырожденная матрица, рассматриваемая как линейный оператор, отображает векторное пространство в его подпространство меньшей размерности.

Вырожденными матрицами являются, в частности:

• нулевая матрица (состоящая из одних нулей);
• матрица единиц (состоящая из одних единиц) при размере n > 1;
• нильпотентные матрицы (матрицы, какая-либо натуральная степень которых является нулевой матрицей);
  • сдвиговые матрицы (подмножество нильпотентных матриц);
• матрица Вандермонда, если хотя бы два её параметра совпадают;
• Матрицы Гелл-Манна в стандартном представлении (кроме λ₈);
• Матрица Кирхгофа (известна также как матрица Лапласа) — матричное представление графа.

• Обратная матрица
• Невырожденная матрица
• Ядро

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц (рус.). — 2-е изд.. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер, П. Теория матриц (рус.). — М.: Наука, 1973.