Система уравнений
Систе́ма уравне́ний — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Обозначения
Формальная запись общего вида может выглядеть так:
Фигурная скобка означает, что решение должно удовлетворять каждому уравнению.
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.
Типы систем уравнений
- Алгебраические уравнения:
- Система линейных алгебраических уравнений
- Система нелинейных уравнений
- Дифференциальные уравнения:
Методы решения
Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных — как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).
Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.
Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.
Разные факты
- Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.
- Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему диф. уравнений первого порядка.
