Численные методы

Численные (вычислительные) методы — методы решения математических задач в численном виде[1].

Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел.

Многие численные методы являются частью библиотек математических программ[2]. В системе подготовки инженеров технических специальностей являются важной составляющей.

Основами для вычислительных методов являются:

решение систем линейных уравнений;
интерполирование и приближённое вычисление функций;
численное интегрирование;
численное решение системы нелинейных уравнений;
численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений;
численное решение уравнений в частных производных (уравнений математической физики);
решение задач оптимизации.

Методология

Все задачи вычислительной математики решаются в следующей последовательности[3]:

Исходная математическая задача заменяется другой задачей — вычислительным алгоритмом. Основными требованиями к вычислительному алгоритму являются: высокая точность, устойчивость и экономичность. При переходе к дискретной модели появляется погрешность аппроксимации, а при реализации вычислений — погрешность округления, поэтому для реальных вычислительных алгоритмов проводится анализ погрешностей и устойчивости вычислительного алгоритма[2]. В современной науке для решения задач прикладной математики формулируется математическая модель в терминах интегральных и дифференциальных уравнений функций непрерывного аргумента. Переход от континуальной к дискретной математической модели осуществляется заменой функций непрерывного аргумента функциями дискретного аргумента. В получившихся конечно-разностных уравнениях интеграл и производная представлены конечной суммой и разностным отношением, соответственно[2]. Получившаяся модель представляет собой систему алгебраических уравнений, для решения которой с определённой точностью составляется вычислительный алгоритм, который реализуется на вычислительных машинах[2][4]. При решении больших систем необходимо вычислять собственные значения и вектора матриц, сводить нелинейные системы уравнений к линейным. Для некоторых задач (нейронная физика, физика плазмы, экономика) модель строится непосредственно на статистической выборке или на крупных объектах. Кроме того, строятся нерегулярные системы, для которых численные методы сочетаются с теорией графов. Отдельный класс представляют некорректно поставленные задачи[2].
Вычислительный алгоритм содержит параметр $N$ , которого нет в исходной задаче;
Выбором этого параметра $N$ можно добиться любой близости решения второй задачи к решению первой. Для многих важных классов задач разработаны разнообразные численные методы решения. По способу дискретизации численные методы делятся на проекционные и конечно-разностные, по способу решения — на прямые и итерационные. В методах конечных разностей ставится задача определить значения функции на дискретном множестве точек, в то время как в проекционных методах функция представлена линейной комбинацией элементов. При этом дискретная функция также может рассматриваться как линейная комбинация полиномов. Прямые методы решения обладают слабой устойчивостью, в то время как итерационные методы более устойчивы и обеспечивают быструю сходимость[2].
Неточная реализация алгоритма, вызванная округлениями при вычислениях, не меняет существенно его свойств. Необходимо помнить, что вычислительная машина выполняет только четыре основных арифметических операции[5]. Точность решения при этом должна быть несколько выше ожидаемой точности физического эксперимента[6]. При определении критериев и условий роста погрешности долгое время не принималась во внимание погрешность округления. Необходимость гарантированных оценок точности реальных вычислений привела к возникновению интервального анализа. Оптимальным алгоритмом считается алгоритм с минимальной погрешностью или с минимальным числом операций при заданной погрешности. При этом разрабатывается теория параллельных вычислительных алгоритмов[2].

Математический аппарат

Символически задача поиска неизвестной величины записывается в виде $y=A(x)$ . Для отыскания $y$ в вычислительной математике используют одну или несколько замен пространств, в которых определены величины $x$ , $y$ , или функции $A$ , чтобы сделать вычисления более удобными. Получившаяся новая задача ${\bar {y}}={\bar {A}}({\bar {x}})$ должна иметь решение, близкое к решению исходной задачи. Например, при вычислении интеграла $\int _{a}^{b}f(x)dx$ , непрерывную функцию на отрезке $[a,b]$ можно всегда заменить полиномом $P(x)$ , для которого интеграл легко определяется; или же заменить интеграл конечной суммой $\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})\Delta x_{i}}$ и решать получившуюся задачу. Для того чтобы осуществить подобную замену, необходимо отыскать конечное множество элементов, хорошо аппроксимирующих основное пространство. Последнее условие накладывает ограничения на метрическое пространство. Основным ограничением является наличие $\epsilon$ -сети, из которого вытекает компактность пространства в себе и сепарабельность. Вместе с тем, это ограничение не является обязательным. Современные методы функционального анализа позволяют выбрать метрические пространства, наиболее подходящие условиям задачи[7].

При использовании численных методов возникает несколько видов погрешностей. При приближении одного числа другим возникает погрешность округления, погрешность связанная с неточными начальными данными называется неустранимой, кроме того, в связи с заменой исходной задачи на приближённую существует погрешность метода. Полная погрешность при этом складывается из погрешности метода и погрешности вычислений, иными словами, вместо уравнения $y=A(x)$ решается уравнения ${\bar {\bar {y}}}={\bar {\bar {A}}}({\bar {\bar {x}}})$ , точность решения которого определяется по формуле[8]

y-{\bar {\bar {y}}}=(y-{\bar {y}})+({\bar {y}}-{\bar {\bar {y}}})

Для определения величины погрешности пользуются понятиями абсолютной и относительной погрешности, а также предельной абсолютной и относительной погрешности, при этом теория погрешностей определяет изменение величин погрешностей при различных арифметических действиях[9]. Наряду с методами точной оценки погрешностей, в результате которых определяются предельные величины погрешностей, используют статистические методы, позволяющие определить возможность достижения отдельных погрешностей[10], а также учитывают математические характеристики случайных ошибок, связанных с отклонением от заданных условий опыта, когда по нескольким результатам измерения физической величины определяется её приближённое значение[11].

Основные способы приближения функций

Интерполяция

Для получения значения функции $f(x)$ , заданной таблицей значений, на промежуточных значениях аргумента строят приближённую функцию $\varphi (x)$ , которая в заданных точках $x_{0},\dots ,x_{m}$ , которые называются узлами интерполирования, принимает значения $f(x_{0}),\dots ,f(x_{m})$ , а в остальных точках принадлежат области определения функции. Чаще всего приближённая функция строится в виде алгебраического многочлена, включающего первые $n+1$ элементов линейно независимой системы. На практике в качестве элементов линейно независимой системы используют последовательность степеней $x$ : $1,x,x^{2},\dots$ , тригонометрических функций: $1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\dots$ , показательных функций: $1,e^{\alpha _{1}x},e^{\alpha _{2}x},\dots$ [12].

Для построения интерполирующей функции в таком случае необходимо решить систему из $m+1$ уравнений с $n+1$ неизвестными. На получившуюся матрицу системы накладываются определённые условия: ранг матрицы должен быть равен $m+1$ , а $n\geq m$ — чтобы гарантировать условие линейной независимости, $n=m$ — чтобы решение задачи было однозначным, определитель матрицы $\Delta \neq 0$ — чтобы существовало решение и притом единственное[13]. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа $L_{n}(x)$ является базовым методом решения подобного рода задач, очень ресурсоёмким и трудно расширяемым[14].

Следующим шагом является введение понятия разделённой разности $k$ -го порядка на базе отношений разности значения функции в соседних узлах к расстоянию между узлами, которая в силу своего определения обладает рядом полезных свойств, в частности разделённые разности порядка $k$ от многочлена степени $n$ имеют степень $n-k$ , то есть разности порядка $n$ постоянны, а разности более высокого порядка равны $0$ [15]. Разделённые разности позволяют переписать интерполяционный многочлен Лагранжа в виде, более удобном для вычислений. Новая формула носит название интерполяционного многочлена Ньютона[16], в случае равных промежутков формула значительно упрощается[17]. С использованием разделённых разностей строятся интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта[18]. В общем случае разделённые разности сначала убывают с повышением порядка, а затем начинают снова расти, иными словами, нет смысла использовать разности высоких порядков в вычислениях[19]. При этом возникает вопрос сходимости интерполяционного процесса, для решения которого привлекаются различные методы математического анализа[20].

Разделённые разности для функции у=2х³-2х²+3х-1

Равномерные приближения

При решении практических задач необходимо многократно вычислять значения заданной функции, что в общем случае является ресурсоёмкой операцией. Возникает необходимость нахождения функции наилучшего равномерного приближения[21]. Для приближения функции в линейном нормированном пространстве образуют подпространство размерности $n+1$ всевозможных линейных комбинаций, для которых опеределена норма и существует её точная нижняя грань. Элемент, в котором эта грань достигается называют элементом наилучшего приближения, или проекцией[22]. Можно доказать что в подпространстве всегда существует элемент наилучшего приближения[23], а при условии строгой нормированности пространства такой элемент является единственным[24]. В пространстве непрерывных функций с нормой

\lVert f\rVert =\sup _{x\in {[a,b)}}|f(x)|

также существует элемент наилучшего приближения[25], но условием его единственности является наличие не более $n$ различных нулей обобщённого многочлена на отрезке (Многочлены Чебышёва)[26].

Многочлены Чебышёва

Теория функций применима к системе степенных функций, так как она является системой Чебышёва на любом отрезке[27]. Согласно теореме Вейерштрасса, при увеличении размерности подпространства ( $n\to \infty$ ) разность между проекцией и заданной функцией стремится к нулю[28]. Порядок этого приближения зависит от структурных особенностей функции, его можно определить с помощью многочленов Бернштейна[29]. Система тригонометрических функций также обладает свойствами системы Чебышёва на отрезке $[0,2\pi )$ , для неё также разность между проекцией и заданной функцией стремится к нулю[30].

Несмотря на показанное существование многочлена наилучшего приближения, способов его точного построения не существует. Вместо этого используют несколько способов приближённого построения многочленов наилучшего равномерного приближения[31].

Среднеквадратичные приближения

Во многих случаях требование равномерного приближения является избыточным и достаточно «интегральной» близости функций, кроме того значения приближённых функций, полученные из эксперимента, несут на себе случайные погрешности, а требовать совпадения приближающей и приближаемой функции, если последняя содержит неточности, нецелесообразно. Метод среднеквадратичного приближения принимает за меру близости следующую величину

\delta ={\sqrt {\int _{a}^{b}p(x)[f(x)-\phi (x)]^{2}dx}},

что позволяет отказаться от интерполяции подынтегральной функции и требования непрерывности, сохранив только требования интегрируемости с квадратом[32].

Численное дифференцирование и интегрирование

Уравнение вида $y=A(x)$ , определённое на функциональном пространстве, может содержать операторы дифференцирования и интегрирования, для которых невозможно найти точное решение. Методы численного дифференцирования и интегрирования основаны на интерполяции[33].

Производную основной функции считают приближённо равной производной интерполирующей функции, при этом производная остаточного члена интерполяционной формулы может быть велика, особенно для производных высших порядков[34]. Формулы численного дифференцирования во многом основаны на непосредственном дифференцировании интерполяционных формул Ньютона[35], Гаусса, Стирлинга и Бесселя[36], построенных на распределённых разностях, но есть и безразностные формулы. В частности, когда для численного дифференциала используется непосредственно формула Лагранжа для равных промежутков[37], метод неопределённых коэффициентов и другие[38].

Численное интегрирование по формуле Симпсона

В случае интегрирования, само определение интеграла говорит о возможности его замены интегральной суммой, но этот приём обладает медленной сходимостью и мало пригоден. Интеграл от основной функции считают приближённо равным интегралу от интерполирующей функции и в дальнейшем используют интерполяционные формулы с кратными узлами[39]. Использование в качестве подынтегрального выражения интерполяционного многочлена Лагранжа для равных промежутков приводит к формулам Ньютона — Котеса[40] и её частным случаям, формуле трапеций, когда кривая подынтегрального выражения заменяется хордой и интеграл равен площади трапеции, и формуле Симпсона, когда кривая подынтегрального выражения заменяется параболой, проходящей через три точки[41]. Отказавшись от требования равных промежутков с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа можно получить более точные формулы численного интегрирования, в частности формулы Гаусса[42], формулы Эрмита[43], формулы Маркова[44], формулы Чебышёва[45]. Квадратурные процессы, построенные на интерполяционных формулах Гаусса, всегда сходятся, в то время как формулы Ньютона — Котеса этим свойствам в общем случае не обладают[46].

Существуют и другие способы численного интегрирования, основным из которых является использование формул Эйлера, в которых замена переменных и последующее интегрирование по частям приводят к формуле численного интегрирования трапецией и поправочного члена, к которому повторно применяется замена переменных и интегрирование по частям. В общем случае формула Эйлера использует в качестве коэффициентов числа и многочлены Бернулли[47]. Вопрос применения того или иного метода численного интегрирования зависит от таких факторов, как вычислительные средства, требуемая точность, способ задания подынтегральной функции. Для ручных вычислений рекомендуется использовать формулы, содержащие разности, в то время как при автоматических вычислениях — безразностные формулы, в особенности формулы Гаусса[48].

Численное интегрирование методами Монте-Карло

Для приближённого вычисления кратных интегралов повторно применяют формулы численного интегрирования однократных интегралов, при этом в зависимости от особенностей функции для разных интегралов можно использовать разные формулы. При использовании данного метода необходимо вычислять подынтегральную функцию в большом числе точек, поэтому целесообразно использовать формулы Гаусса и Чебышёва, которые являются более точными[49]. Другим способом является замена подынтегральной функции интерполяционным многочленом от двух или несколько переменных[50]. Люстерник и Диткин предложили использовать формулы Маклорена для приближённого вычисления кратного интеграла[51]. Вместе с тем, при увеличении кратности интеграла резко растёт число точек, для которых необходимо знать значения подынтегральной функции, чтобы пользоваться методами, основанными на интерполяции. Для вычисления кратных интегралов чаще пользуются вероятностными методами Монте-Карло, при этом необходимость получения равновозможных последовательностей создаёт дополнительные погрешности, которые трудно оценить[52].

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Существует две группы методов решения систем линейных алгебраических уравнений: точные методы позволяют с помощью конечного числа операций получить точные значения неизвестных и включают преобразование системы к простому виду и решение упрощённой системы; методы последовательных приближений на основе начальных приближений позволяют получить «улучшенные» приближённые значения, для которых следует последовательно повторить операцию «улучшения»; методы Монте-Карло позволяют на основании математического ожидания случайных величин получить решение системы[53].

Известный из школьного курса алгебры метод исключения позволяет свести матрицу системы к диагональному или треугольному виду[54]. Схема исключения Гаусса с выбором главного элемента, который необходим чтобы уменьшить вычислительную погрешность, включает прямой ход (собственно процесс исключения) и обратный ход (решение системы с треугольной матрицей)[55]. Её компактный вариант используется для определения обратной матрицы, что может быть полезно если в системе линейных уравнений меняется только правая часть[56] и для вычисления определителей[57]. Схема Жордана позволяет облегчить обратный ход[58], а в схеме без обратного хода, которая основана на преобразовании клеточной матрицы ${\begin{pmatrix}A&b\\-I&0\end{pmatrix}}$ , последний и не требуется[59]. Условие симметричности матрицы позволяет сделать ряд упрощений и воспользоваться методом квадратного корня, в котором матрица системы представляется как произведение нижней треугольной матрицы на транспонированную по отношению к ней матрицу, в котором элементы треугольных матриц определяются по формулам через произведения элементы первоначальной матрицы (при отсутствии условия положительно определённой матрицы некоторые формулы могут содержать мнимые элементы), а система затем решается в два этапа через решение вспомогательных систем построенных на треугольных матрицах[60]. Существуют также метод ортогонализации, основанный на свойствах скалярного произведения[61], метод сопряжённых градиентов, при котором строится вспомогательная функция, которая образует семейство эллипсоидов с общим центром и для которой необходимо найти вектор, при котором она принимает минимальное значение[62]. Для матриц высокого порядка применяют метод разбиения на клетки, когда задачу сводят к решению задач для матриц низших порядков[63].

В случае последовательных приближений используется рекуррентная формула

{\overline {x}}_{k+1}=F_{k}({\overline {x}}_{0},\dots ,{\overline {x}}_{k}),

где $F_{k}$ — функция, которая зависит от матрицы системы, правой части, номера приближения и предыдущих приближений ${\overline {x}}_{0},\dots ,{\overline {x}}_{k}$ , где ${\overline {x}}_{0}$ — начальный вектор. При этом считается, что метод имеет первый порядок, если функция зависит только от последнего из предыдущих приближений. В этом случае формула ${\overline {x}}_{k+1}=B_{k}{\overline {x}}_{k}+{\overline {c}}_{k}$ может быть записана в виде $D_{k}{\overline {x}}_{k+1}+E_{k}{\overline {x}}_{k}={\overline {b}}$ , где $D_{k}+E_{k}=A$ . Для удобства вычислений желательно использовать диагональную или треугольную матрицу $D_{k}$ , которую будет удобно обратить. В зависимости от выбора этой матрицы методы называют полношаговыми и одношаговыми, соответственно[64]. К линейным полношаговым методам относят простую итерацию[65], метод Ричардсона[66]; к линейным одношаговым методам — метод Зейделя[67], релаксационный метод[68]; к нелинейным методам — метод скорейшего спуска[69].

Решение алгебраических уравнений высших степеней и трансцендентных уравнений

Решения алгебраического уравнения $f(z)=0$ , где в левой части находится функция действительного или комплексного аргумента, лежит в комплексной плоскости[70]. Для его определения в первую очередь необходимо заключить каждый корень в достаточно малую область, то есть отделить его, для чего часто используют графические методы[71]. Для действительных корней используют также обобщённое правило Декарта, теорему Штурма[72], метод Фурье[73]. Широкое применение нашёл метод квадратного корня, или метод Лобачевского[74]. В его основной формулировке он применим к действительным корням[75], далеко отстоящим друг от друга, но существуют обобщения как на комплексные[76], так и на действительные равные или близкие корни[77].

Итерационные методы решения алгебраических уравнений делятся на стационарные, когда функции ставится в соответствие другая функция с теми же корнями, не зависящая от номера итерации[78], и нестационарные, когда функция может зависеть от номера итерации. К простейшим стационарным итерационным методам относят метод секущих (или метод линейного интерполирования) и метод касательных (или метод Ньютона), которые являются методами первого и второго порядка, соответственно. Комбинация этих методов, при которой последовательные приближения лежат по разные стороны от корня, позволяет достичь более быстрой сходимости[79]. Метод Чебышева, основанный на разложении обратной функции по формуле Тейлора, позволяет построить методы более высоких порядков, обладающие очень быстрой сходимостью[80]. Существуют также метод, основанный на теореме Кёнига[81], и метод Эйткена[82]. Для доказательства сходимости итерационных методов используется принцип сжатых отображений[83].

См. также

Метод конечных элементов

Примечания

Муха В. С. Вычислительные методы и компьютерная алгебра: учеб.-метод. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — Минск: БГУИР, 2010. — 148 с.: ил, ISBN 978-985-488-522-3, УДК 519.6 (075.8), ББК 22.19я73, М92
Энциклопедия кибернетики / Глушков В. М., Амосов Н. М., Артеменко И. А.. — Киев, 1974. — Т. 2. — С. 530—532.
Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. — М., Наука, 1972. — Тираж 45000 экз. — С. 10
Калиткин, 1978, с. 3.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 33.
Калиткин, 1978, с. 2.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 13—16.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 57—58.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 53.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 63.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 65.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 77—79.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 79—80.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 84—87.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 102—106.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 106—109.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 112.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 125—135.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 111—112.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 149—150.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 331—333.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 333—334.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 334—336.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 336—337.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 337.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 337—342.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 347—348.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 349—352.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 352—355.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 355—357.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 364—365.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 386—387.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 217.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 217—220.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 220—226.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 226—228.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 230—234.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 234—236.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 237—240.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 240—243.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 243—254.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 254—258.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 264—266.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 266—269.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 269—276.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 279—284.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 289—297.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 305—306.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 315—318.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 318—320.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 320—324.
Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 324—325.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 9—10.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 10.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 10—13.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 17—18.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 18—19.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 19—20.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 20—23.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 23—25.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 25—30.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 30—31.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 41.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 54—56.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 56—59.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 59—61.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 61—62.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 66—67.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 67—73.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 76.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 76—79.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 83—88.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 88—94.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 103.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 103—107.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 107—114.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 115.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 128—129.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 135—140.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 140—143.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 143—146.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 146—148.
Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 129—134.

Литература

Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — 1994.
Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Наука, 1962. — Т. 1.
Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Наука, 1959. — Т. 2.
Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
Численные методы : теория и практика : учебное пособие для бакалавров, для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Математика. Прикладная математика» / У. Г. Пирумов, Гидаспов В.Ю., Иванов И.Э., Ревизников Д. Л., Стрельцов В.Ю., Формалев В.Ф.; Московский авиационный ин-т-нац. исслед. ун-т. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва : Юрайт, 2012. — 421 с. : ил., табл.; 22 см. — (Бакалавр. Базовый курс).; ISBN 978-5-9916-1867-0
Рыжиков Ю. Вычислительные методы. — СПб.: BHV, 2007. — 400 с. — ISBN 978-5-9775-0137-8

Ссылки

Научный журнал «Вычислительные методы и программирование. Новые вычислительные технологии»
Материалы по численным методам
Численные методы
Вычислительные методы в прикладной математике, Международный журнал, ISSN 1609-4840

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Муха В. С. Вычислительные методы и компьютерная алгебра: учеб.-метод. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — Минск: БГУИР, 2010. — 148 с.: ил, ISBN 978-985-488-522-3, УДК 519.6 (075.8), ББК 22.19я73, М92

[KibEnc-2] Энциклопедия кибернетики / Глушков В. М., Амосов Н. М., Артеменко И. А.. — Киев, 1974. — Т. 2. — С. 530—532.

[3] Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. — М., Наука, 1972. — Тираж 45000 экз. — С. 10

[_30f9bc3e6170b3c2-4] Калиткин, 1978, с. 3.

[_32e4b6097d77398b-5] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 33.

[_30f9bc3e6170b3c3-6] Калиткин, 1978, с. 2.

[_e6c9daa84dd7de38-7] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 13—16.

[_4ae334b3d8fa9152-8] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 57—58.

[_32e4bc097d7743d9-9] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 53.

[_32e4bb097d774204-10] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 63.

[_32e4bb097d774202-11] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 65.

[_0a208aa55fd28b7f-12] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 77—79.

[_08ef452cebfe3269-13] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 79—80.

[_eaf981b99057b8fe-14] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 84—87.

[_57f9e7d861e9bc95-15] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 102—106.

[_f68fcd8d010cf0d6-16] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 106—109.

[_f1e1e720319cf6ef-17] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 112.

[_5663ec8b67301a76-18] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 125—135.

[_530c4c58fa0b5f9e-19] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 111—112.

[_4d4f6373cd940e9f-20] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 149—150.

[_bc66985d0bc2a2d3-21] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 331—333.

[_8f9e583b6ca3c20a-22] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 333—334.

[_2b0e1a7e0108060f-23] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 334—336.

[_51ab190fe4b523d8-24] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 336—337.

[_f1dadd203196c706-25] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 337.

[_89f3114556bd2c69-26] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 337—342.

[_7f52da7232f4b94a-27] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 347—348.

[_a5f748c562961825-28] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 349—352.

[_d550da1216548aca-29] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 352—355.

[_448987231677feb3-30] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 355—357.

[_8aed1f6ed4c9d82c-31] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 364—365.

[_3c3c62aff649ece8-32] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 386—387.

[_f1de5f203199d9d9-33] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 217.

[_9841b153146ccb3f-34] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 217—220.

[_c1db8d139f61e05b-35] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 220—226.

[_c85fc9eb65012ab3-36] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 226—228.

[_4f5a25509e27e6d5-37] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 230—234.

[_3f2113568b09011b-38] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 234—236.

[_53210e54e96ac67f-39] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 237—240.

[_0105b326b7a87c5e-40] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 240—243.

[_8e966ae16e895421-41] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 243—254.

[_084e7dcbde404cdd-42] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 254—258.

[_1d9e798a69f1335f-43] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 264—266.

[_640ea00746f2b362-44] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 266—269.

[_d914f797d746dff9-45] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 269—276.

[_2081edb4cfac9fcd-46] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 279—284.

[_4a07c66dafa79d7c-47] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 289—297.

[_6c3d9e27f6ab0d7e-48] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 305—306.

[_80b01fafe08f5674-49] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 315—318.

[_7402115125767110-50] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 318—320.

[_b53e1e8db1cd0da1-51] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 320—324.

[_b75c737817a7ebec-52] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 324—325.

[_a7d3026ab486e678-53] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 9—10.

[_58072d3de363e0a5-54] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 10.

[_8d9c9bbd48fab925-55] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 10—13.

[_be14d438e90d9bcb-56] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 17—18.

[_4fd52aa087efb3b7-57] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 18—19.

[_6948c1081184560c-58] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 19—20.

[_4dafd5bc1418132f-59] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 20—23.

[_ca412336a4070ac4-60] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 23—25.

[_f99d4d2be5f6a654-61] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 25—30.

[_c5e319e87696921f-62] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 30—31.

[_5807283de363d827-63] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 41.

[_ede9d67f7015da7c-64] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 54—56.

[_7d23b76183d4d08d-65] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 56—59.

[_1ad84e890e89038d-66] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 59—61.

[_64cf43f97dfcb881-67] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 61—62.

[_03790f72d5b263b9-68] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 66—67.

[_36c81deeae9e0301-69] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 67—73.

[_5807273de363d655-70] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 76.

[_406ac376931a5df5-71] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 76—79.

[_b0daf87e2c0730dd-72] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 83—88.

[_0334a14419b0a45f-73] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 88—94.

[_f812852962b6b86c-74] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 103.

[_412253957c43f9e8-75] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 103—107.

[_034be6d4ff81e554-76] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 107—114.

[_f812842962b6b699-77] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 115.

[_e15ac4b5ab565c1d-78] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 128—129.

[_f1ce55a497f3b90c-79] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 135—140.

[_8909f1d0f4b7616b-80] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 140—143.

[_ed8d218e60487b01-81] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 143—146.

[_b4a6f3002a1f1dfe-82] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 146—148.

[_9a8e538d8cc5d0f6-83] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 129—134.

Словари и энциклопедии	Britannica (онлайн) Universalis
В библиографических каталогах	BNF: 11930888x GND: 4042805-9 LCCN: sh85093237