Многочлены Бернулли

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{n-k}x^{k}}$, где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — биномиальные коэффициенты, ${\displaystyle \ B_{k}}$ — числа Бернулли.

Или

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.}$

Производящей функцией для многочленов Бернулли является

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

${\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}$, где ${\displaystyle D}$ — оператор формального дифференцирования.

Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:

${\displaystyle B_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},}$

${\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,}$

${\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},}$

${\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,}$

${\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.}$

начальные значения многочленов Бернулли при ${\displaystyle \ x=0}$ равны соответствующим числам Бернулли:

${\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n}}$.

Вычисляя производную от производящей функции:

${\displaystyle te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}}$.

Левая часть отличается от производящей функции только множителем ${\displaystyle \ t}$, поэтому

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}}$.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ${\displaystyle \ t}$, получаем:

${\displaystyle {\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!}}}$, откуда

${\displaystyle \ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)}$. (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).

Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:

${\displaystyle \ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt}$.

Также бывает полезно свойство сбалансированности:

${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0}$ (при ${\displaystyle n>0}$ )

Пусть m — произвольное натуральное число, тогда

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {te^{mxt}}{e^{t}-1}}={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left(x+{\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n!}}t^{n}.}$

Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:

${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)}$.

${\displaystyle \ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),}$

${\displaystyle \ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.}$