Натуральное число

Самый примитивный способ представления натурального числа — ставить метку при учёте каждого объекта. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток — вычеркнув отметку и удалив объект из набора. Первым крупным достижением в абстракции стало использование цифр для обозначения натуральных чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали обширную систему цифр с четкими иероглифами для 1, 10 и всеми степенями от 10 до более чем 1 миллиона. На каменной резьбе из Карнака, датируемой примерно 1500 лет до н.э. и ныне находящейся в Лувре, число 276 изображены как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622[3].

Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что ноль можно рассматривать как число с собственной цифрой. Использование цифры 0 в обозначении места (в других числах) восходит к 700 г. до н.э. вавилонянами, которые опускали такую ​​цифру, когда она была последним символом в числе[lower-alpha 1]. Ноль использовался в качестве числа в средневековыхм вычислениях (вычислении даты Пасхи), начиная с Дионисия Экзигууса в 525 году нашей эры, без обозначения цифрой (стандартные римские цифры не имеют символа для 0). Вместо этого для обозначения нулевого значения использовалось лат. nulla (или родительный падеж лат. nullae в значении «нет»)[5]. Использование ноля в наше время возникло у индийского математика Брахмагупты в 628 г. н.э.

Первое систематическое изучение чисел, как абстракций, обычно приписывают греческим философам Пифагору и Архимеду. Некоторые греческие математики относились к числу 1 иначе, чем к большим числам, а иногда и вовсе не как к числу[lower-alpha 2]. Евклид, например, сначала определил сущность единицы, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению единица не является числом, и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного множества единиц являются числом 2)[7].

В Европе XIX века велись математические и философские дискуссии о точной природе натуральных чисел. Анри Пуанкаре был одним из ее защитников такой концепции, как и Леопольд Кронекер, который резюмировал свою веру так: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека». Такая концепция была определена, как натуралистическая[lower-alpha 3].

В противовес натуралистам конструктивисты видели необходимость совершенствовать логическую основу в основах математики. В 1860-х годах Герман Грассманн предложил рекурсивное определение натуральных чисел, таким образом заявив, что они не совсем естественные, а являются следствием определений. Далее было построены два класса таких формальных определений; позднее было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге. Первоначально он определил натуральное число, как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе к парадоксу Рассела. Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который можно поставить во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов[9].

Второй класс определений был введен Чарльзом Сандерсом Пирсом, уточнен Ричардом Дедекиндом и исследован Джузеппе Пеано — этот подход теперь называется аксиомами Пеано. Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел: каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равнозначна нескольким слабым системам теории множеств. Одной из таких систем является система Цермело — Френкеля (ZFC), в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. Среди теорем, которые могут быть доказаны в ZFC, но не могут быть доказаны с помощью аксиом Пеано,— Теорема Париса — Харрингтона, Теорема Гудстейна и другие[10].

На основании такого базиса определений удобно включать ноль (соответствующий пустому набору) как натуральное число. Включение ноля в настоящее время является обычным явлением среди теории множеств[11] и логических построений[12].

Множество ${\displaystyle \mathbb {N} }$ будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция ${\displaystyle S}$ c областью определения ${\displaystyle \mathbb {N} }$, называемая функцией следования (${\displaystyle S\colon \mathbb {N} }$), и выполнены следующие условия:

1. элемент единица принадлежит этому множеству (${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$), то есть является натуральным числом;
2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$, то ${\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} }$ или, в более короткой записи, ${\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$);
3. единица не следует ни за каким натуральным числом (${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)}$);
4. если натуральное число ${\displaystyle a}$ непосредственно следует как за натуральным числом ${\displaystyle b}$, так и за натуральным числом ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — это одно и то же число (если ${\displaystyle S(b)=a}$ и ${\displaystyle S(c)=a}$, то ${\displaystyle b=c}$);
5. (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) ${\displaystyle P}$ доказано для натурального числа ${\displaystyle n=1}$ (база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа ${\displaystyle n}$, вытекает, что оно верно для следующего за ${\displaystyle n}$ натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть ${\displaystyle P(n)}$ — некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число ${\displaystyle n}$. Тогда, если ${\displaystyle P(1)}$ и ${\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))}$, то ${\displaystyle \forall n\;P(n)}$).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[16], а также краткое доказательство[17]), что если ${\displaystyle (\mathbb {N} ,1,S)}$ и ${\displaystyle ({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})}$ — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}}$ такая, что ${\displaystyle f(1)={\tilde {1}}}$ и ${\displaystyle f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))}$ для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$.

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве ${\displaystyle \mathbb {N} }$ какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом ${\displaystyle \mathbb {N} }$ образует моноид. Как уже упоминалось выше, в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.

Положение натуральных чисел в иерархии числовых множеств

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

• ${\displaystyle 0=\varnothing$ ;}
• ${\displaystyle S(n)=n\cup \left\{n\right\}.}$

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

• ${\displaystyle 0=\varnothing$ ;}
• ${\displaystyle 1=\varnothing \cup \left\{0\right\}=\left\{\varnothing \right\};}$
• ${\displaystyle 2=1\cup \left\{1\right\}={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}};}$
• ${\displaystyle 3=2\cup \left\{2\right\}={\Big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}.}$

• Коммутативность сложения:

${\displaystyle a+b=b+a.}$

• Коммутативность умножения:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a.}$

• Ассоциативность сложения:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$

• Ассоциативность умножения:

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).}$

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

${\displaystyle {\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{cases}}.}$

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и рациональных положительных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}}$ соответственно.

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:

• ${\displaystyle [A]+[B]=[A\sqcup B];}$
• ${\displaystyle [A]\cdot [B]=[A\times B];}$
• ${\displaystyle {[A]}^{[B]}=[A^{B}],}$

где:

• ${\displaystyle A\sqcup B}$ — дизъюнктное объединение множеств;
• ${\displaystyle A\times B}$ — прямое произведение;
• ${\displaystyle A^{B}}$ — множество отображений из B в A.

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.