Трансцендентное число

Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ (и потому является алгебраическим).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

1. Если ${\displaystyle t}$ — трансцендентное число, то ${\displaystyle -t}$ и ${\displaystyle 1/t}$ также трансцендентны.
2. Если ${\displaystyle a}$ — ненулевое алгебраическое число, а ${\displaystyle t}$ — трансцендентное число, то ${\displaystyle a\pm t,\ at,\ a/t,\ t/a}$ трансцендентны.
3. Если ${\displaystyle t}$ — трансцендентное число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное число, то ${\displaystyle t^{\pm n}}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}}$ трансцендентны.

Мера иррациональности почти всякого (в смысле меры Лебега) трансцендентного числа равна 2.

• Число ${\displaystyle \pi }$ (Ф. фон Линдеман, 1882).
• Число ${\displaystyle e}$ (Ш. Эрмит, 1873).
• Постоянная Гельфонда ${\displaystyle e^{\pi }}$ (А. О. Гельфонд, 1934).
• ${\displaystyle \pi +e^{\pi }}$, ${\displaystyle \pi *e^{\pi }}$ (Ю. В. Нестеренко, 1996).
• Десятичный логарифм любого натурального числа[2], кроме чисел вида ${\displaystyle 10^{n}}$.
• ${\displaystyle \sin a,\cos a}$ и ${\displaystyle \mathrm {tg} \,a}$, для любого ненулевого алгебраического числа ${\displaystyle a}$ (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

Впервые понятие трансцендентного числа (и сам этот термин) ввёл Леонард Эйлер в труде «De relation inter tres pluresve quantitates instituenda» (1775 год)[3]. Эйлер занимался этой темой ещё в 1740-е годы[4]; он заявил, что значение логарифма ${\displaystyle \log _{a}{b}}$ для рациональных чисел ${\displaystyle a,b}$ не является алгебраическим («радикальным», как тогда говорили)[5], за исключением случая, когда ${\displaystyle b=a^{c}}$ для некоторого рационального ${\displaystyle c.}$ Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века.

Существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль в 1844 году, когда опубликовал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. Лиувилль построил конкретные примеры («числа Лиувилля»), ставшие первыми примерами трансцендентных чисел.

В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов. В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа ${\displaystyle \pi }$ и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если ${\displaystyle a\neq 0,1}$, ${\displaystyle a}$ — алгебраическое число, и ${\displaystyle b}$ — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что ${\displaystyle a^{b}}$ — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле p-адических чисел[1].

• Неизвестно, является ли число ${\displaystyle \ln \pi }$ рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным[6].
• Неизвестна мера иррациональности для чисел ${\displaystyle \ln 2,\ln 3}$[7].

• Кольцо периодов
• Степень трансцендентности

• Спринджук В. Г. Трансцендентное число // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — С. 426—427. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. — 1983. — № 7. — С. 2—7.