Натуральный логарифм 2

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.}$(Ряд Меркатора)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\tfrac {3}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)}}\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2}{2}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\operatorname {Li} _{1}\left({\frac {1}{2}}\right).}$(Полилогарифм)

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {6}{161^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)}}\right).}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}.}$

(здесь через γ обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, ζ — дзета-функция Римана).

Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1,(1){\big )}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ или, равносильно, }}\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2}}}={\frac {1-\ln 2}{4}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx}}}={\frac {\ln 2}{n}};\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\gamma .}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operatorname {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\operatorname {tg} x\,dx=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx=-{\frac {\pi \ln 2}{4}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{18}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2}}}\,dx=-\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2}}}\,dx=1-2\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3}}}\,dx=-{\frac {\gamma +\ln 2}{2}}.}$

Разложение Пирса имеет вид (A091846)

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}$

Разложение Энгеля (A059180):

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}$

Разложение в виде котангенсов имеет вид A081785

${\displaystyle \ln 2=\operatorname {ctg} ({\operatorname {arcctg} 0-\operatorname {arcctg} 1+\operatorname {arcctg} 5-\operatorname {arcctg} 55+\operatorname {arcctg} 14187-\cdots }).}$

Представление в виде бесконечной суммы дробей[1] (знакопеременный гармонический ряд):

${\displaystyle \ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}-\cdots .}$

Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56}}+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }$

Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:[2]

${\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

Если известно значение ln 2, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел c затем определять исходя из разложения на простые множители:

${\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ln 7+\cdots }$

В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.

На третьем шаге логарифмы рациональных чисел r = a/b вычисляются как ln r = ln a − ln b, логарифмы корней: ln ⁿ√c = 1/n ln c.

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени 2ⁱ, близкой к степени b^j другого числа b сравнительно несложно.

Это таблица последних записей по вычислению цифр ${\displaystyle \ln(2)}$. По состоянию на декабрь 2018 года в ней было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме[3][4] натурального числа, кроме 1.

• Brent, Richard P. Fast multiple-precision evaluation of elementary functions (англ.) // J. ACM : journal. — 1976. — Vol. 23, no. 2. — P. 242—251. — doi:10.1145/321941.321944.
• Uhler, Horace S. Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17 (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1940. — Vol. 26. — P. 205—212. — doi:10.1073/pnas.26.3.205.
• Sweeney, Dura W. On the computation of Euler's constant (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 170—178. — doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X.
• Chamberland, Marc. Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes (англ.) // Journal of Integer Sequences : journal. — 2003. — Vol. 6. — P. 03.3.7. Архивировано 6 июня 2011 года.
• Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús. Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas (англ.) // Applied Math. E-Notes : journal. — 2007. — Vol. 7. — P. 237—246.
• Wu, Qiang. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 2003. — Vol. 72, no. 242. — P. 901—911. — doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4.

• Weisstein, Eric W. Natural logarithm of 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal The logarithm constant:log 2 (неопр.).