Нормальное число

Норма́льное число́ по основанию n () — всякое действительное число, в записи которого в n-ричной системе счисления произвольная группа из k последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной n-k для каждого k = 1, 2, ….

Числа, нормальные при записи их по любому основанию n, называются нормальными, или абсолютно нормальными.

Основные свойства и примеры

Любое рациональное число в записи по любому основанию ненормально. Это следует из того факта, что в записи рационального числа существует период. Например, 1/3 = 0,33333… не имеет в записи наперёд заданной последовательности цифр и потому не является нормальным. Отсюда следует, что нормальными числами могут являться только иррациональные числа.

Так как в записи нормального числа содержится любая наперёд заданная последовательность цифр, из этого следует, что начиная с некоторой цифровой позиции в записи любого нормального числа закодированы все созданные и пока не созданные литературные произведения, изображения, кинофильмы и др. Например, в десятичной записи числа последовательность 0123456789 впервые начинается с 17 387 594 880-го знака после запятой. До сих пор (на 2021 год) неизвестно, является ли число нормальным[1].

История

Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.

Д. Чамперноун доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел – 0,1234567891011121314151617…, нормально по основанию 10[2]. В то же время неизвестно, нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2[3].

В 2002 году Бехер и Фигейра[4] доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.

Открытые задачи
  • Являются ли числа π и e нормальными?
  • С одной стороны, неизвестно, верно ли, что любое иррациональное алгебраическое число нормально; с другой стороны, не известен ни один пример иррационального алгебраического числа, про которое доказано, что оно ненормально.

См. также

Примечания
  1. Наварро, Хоакин Секреты числа пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга. — М.: Де Агостини, 2014. — 143 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 7). — ISBN 978-5-9774-0629-1.
  2. D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
  3. Bailey, D. H.; Crandall, R. E. Random Generators and Normal Numbers // Exper. Math. — 2002. — Т. 11. — С. 527—546.
  4. Becher, V. & Figueira, S. (2002), An example of a computable absolutely normal number, Theoretical Computer Science Т. 270: 947–958, DOI 10.1016/S0304-3975(01)00170-0

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.