Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей

Ноль часто используется для обозначения несуществующих элементов последовательности. Например, последовательность A104157 перечисляет «наименьшее из n² последовательных простых чисел, образующих магический квадрат n × n с минимальной магической константой, или 0, если такого магического квадрата не существует». a(1) = 2; a(3) = 1 480 028 129; однако магического квадрата 2 × 2 из последовательных простых чисел не существует, поэтому a(2) = 0.

Иногда для той же цели используется −1, как в последовательности A094076.

В OEIS поддерживается лексикографический порядок последовательностей; таким образом, у каждой последовательности есть предшествующая и последующая последовательности («контекст»). Обычно в целях нормализации ведущие нули, единицы и знаки элементов опускаются.

В качестве примера можно рассмотреть следующие последовательности:

• Простые числа (A000040):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …

• Палиндромные простые числа (A002385):

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, …

• Числа Фибоначчи (A000045):

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

• Центральные многоугольные числа (A000124):

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, …

• Коэффициенты в разложении ${\displaystyle \textstyle {{\zeta (n+2)} \over {\zeta (n)}}}$ (A046970):

1, −3, −8, −3, −24, 24, −48, −3, −8, 72, −120, 24, −168, 144, …

Выделенные фрагменты при определении «контекста» последовательности опускаются.

Запись A046970 была выбрана, так как она содержит все поля, которые может содержать запись из OEIS.

A046970     Generated from Riemann Zeta function: coefficients in series expansion of Zeta(n+2)/Zeta(n).
            1, -3, -8, -3, -24, 24, -48, -3, -8, 72, -120, 24, -168, 144, 192, -3, -288, 24, -360, 72, 384, 360, -528, 24, -24, 504, -8, 144, -840, -576, -960, -3, 960, 864, 1152, 24, -1368, 1080, 1344, 72, -1680, -1152, -1848, 360, 192, 1584, -2208, 24, -48, 72, 2304, 504, -2808, 24, 2880, 144, 2880, 2520, -3480, -576  
OFFSET 	    1,2
COMMENTS    B(n+2) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4pi^2))*z(n+2)/z(n) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4pi^2))*Sum(j=1, infinity) [ a(j)/j^(n+2) ]
            ...
REFERENCES  M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965, pp. 805-811.
LINKS       M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, Tenth Printing, 1972 [alternative scanned copy].  
            Wikipedia, Riemann zeta function.
FORMULA     Multiplicative with a(p^e) = 1-p^2. a(n) = Sum_{d|n} mu(d)*d^2.
            a(n) = product[p prime divides n, p^2-1] (gives unsigned version) [From Jon Perry (jonperrydc(AT)btinternet.com), Aug 24 2010]
EXAMPLE     a(3) = -8 because the divisors of 3 are {1, 3} and mu(1)*1^2 + mu(3)*3^2 = -8.
            ...
MAPLE 	    Jinvk := proc(n, k) local a, f, p ; a := 1 ; for f in ifactors(n)[2] do p := op(1, f) ; a := a*(1-p^k) ; end do: a ; end proc:
            A046970 := proc(n) Jinvk(n, 2) ; end proc: # R. J. Mathar, Jul 04 2011 
MATHEMATICA muDD[d_] := MoebiusMu[d]*d^2; Table[Plus @@ muDD[Divisors[n]], {n, 60}] (Lopez)
            Flatten[Table[{ x = FactorInteger[n]; p = 1; For[i = 1, i <= Length[x], i++, p = p*(x[[i]][[1]]^2 - 1)]; p}, {n, 1, 50, 1}]] [From Jon Perry (jonperrydc(AT)btinternet.com), Aug 24 2010]
PROG 	    (PARI) A046970(n)=sumdiv(n, d, d^2*moebius(d)) (Benoit Cloitre)
CROSSREFS   Cf. A027641 and A027642.
            Sequence in context: A035292 A144457 A146975 * A058936 A002017 A118582
            Adjacent sequences:  A046967 A046968 A046969 * A046971 A046972 A046973 
KEYWORD     sign,mult
AUTHOR      Douglas Stoll, dougstoll(AT)email.msn.com
EXTENSIONS  Corrected and extended by Vladeta Jovovic (vladeta(AT)eunet.rs), Jul 25 2001
            Additional comments from Wilfredo Lopez (chakotay147138274(AT)yahoo.com), Jul 01 2005

Запись в OEIS может содержать следующие поля[24]:

ID number

Каждой последовательности в OEIS присвоен последовательный номер — шестизначное положительное целое число с префиксом A (от англ. absolute). Номера обычно назначаются автоматически.

Нумерация последовательностей в книгах, предшествовавших OEIS, отличается от существующей. M-номера, использовавшиеся в Handbook of Integer Sequences (1973), и N-номера, использовавшиеся в Encyclopedia of Integer Sequences (1995), также указаны в поле ID number в скобках после A-номера.

Sequence data

В поле «Данные последовательности» перечисляются сами числа. В данном поле не различаются конечные последовательности, слишком длинные для отображения, и бесконечные последовательности; для различения используются ключевые слова fini, full и more. Чтобы определить, какому значению n соответствуют значения элементов последовательности, используется поле offset, в котором указано значение n для первого указанного элемента.

Name

Поле «Имя» обычно содержит общепринятое наименование последовательности, иногда вместе с формулой.

Comments

Поле «Комментарии» предназначено для информации о последовательности, которая «не вмещается» в другие поля. Часто в комментариях указаны интересные взаимосвязи между разными последовательностями и не очевидные применения.

References

Ссылки на печатные документы (книги, статьи, публикации и т. п.).

Links

Ссылки (URL) на онлайн-ресурсы.

Formula

Формулы, рекуррентные формулы, производящие функции и т. п..

Example

Примеры значений элементов последовательности с пояснениями.

Maple

Код Maple.

Mathematica

Код Mathematica.

Program

Программы на разных языках, включая Magma, PARI/GP, Sage. Язык программирования указан в скобках.

See also

Перекрёстные ссылки, добавленные отправившим последовательность участником, обычно помечены «Cf.» За исключением новых последовательностей, поле «См. также» включает информацию о контексте последовательности и ссылки на последовательности с близкими A-номерами.

Keyword

В OEIS принят стандартный набор 4-5-буквенных ключевых слов, характеризующих последовательности[5][24][25]:

• base Определение последовательности связано с определёнными системами счисления. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181… (A002385) являются простыми числами в любой системе счисления, но палиндромами только в системе счисления с основанием 10.
• bref Последовательность слишком коротка для анализа.
• changed Последовательность была изменена в последние две или три недели.
• cofr Последовательность представляет собой непрерывную дробь, например, разложение числа e (A003417) или π (A001203).
• cons Десятичное представление математической константы, например, e (A001113) или π (A000796).
• core Последовательность имеет фундаментальное значение в той или иной ветви математики. Примерами могут быть простые числа (A000040) и числа Фибоначчи (A000045).
• dead Последовательность содержит ошибки либо дублирует другую последовательность. В базу данных включены ошибочные последовательности, появлявшиеся в литературе, со ссылками на корректные версии последовательностей.
• dumb В большой степени субъективное ключевое слово, обозначающее последовательность, не имеющая прямого математического значения. В качестве примеров можно привести A001355 «Смесь цифр чисел "пи" и "е"», и A082390 «Числа на компьютерной цифровой клавиатуре по спирали».
• easy Элементы последовательности легко вычислимы. Иногда ключевое слово используется для последовательностей «простые числа вида f(m)», где f(m) — легковычислимая функция, даже если проверка простоты f(m) является трудной задачей.
• eigen Последовательность инвариантна при некотором преобразовании или является преобразованием другой последовательности.
• fini Последовательность конечна, хотя могут отображаться не все элементы.
• frac Последовательность числителей или знаменателей в последовательности дробей. Любая последовательность числителей должна ссылаться на соответствующую ей последовательность знаменателей (и наоборот).
• full Последовательность отображена полностью. При наличии ключевого слова «full» ключевое слово «fini» также должно присутствовать.
• hard Последовательность с трудом поддаётся вычислению. Часто ключевое слово используется для последовательностей, связанных с нерешёнными проблемами; например, A001116 перечисляет известные решения проблемы о числе n-сфер, касающихся данной n-сферы.
• hear Последовательность с «особенно интересным и/или красивым» аудиопредставлением. «Последовательность, которую стоит послушать».
• less «Не особенно интересная последовательность».
• look Последовательность с «особенно интересным и/или красивым графиком».
• more Требуется больше элементов последовательности; читатели могут отправлять дополнения.
• mult Последовательность соответствует мультипликативной функции. Элемент a(1) должен равняться 1; элемент a(mn) может быть вычислен как a(m)a(n) при условии, что m и n взаимо просты (т.е. НОД(m,n) = 1). К примеру, в A046970 a(12) = a(3)a(4) = -8 × -3.
• new Последовательность была недавно добавлена или изменена.
• nice По-видимому, наиболее субъективное ключевое слово, для «исключительно красивых последовательностей».
• nonn Элементы последовательности — неотрицательные целые числа. Не делается различия между последовательностями, состоящими из неотрицательных чисел только из-за выбранного смещения (таких, как последовательность кубов) и последовательностями, которые по определению являются неотрицательными (таких, как последовательность квадратов).
• obsc Последовательность считается непонятной и требует лучшего определения.
• sign Некоторые или все элементы последовательности отрицательны.
• tabf Массив чисел сложной формы, преобразованный в последовательность построчно. Пример — A071031 «Последовательные состояния клеточного автомата с правилом 62».
• tabl Последовательность получена построчным прочтением треугольного или квадратного массива чисел. Наиболее типичный пример — треугольник Паскаля (A007318).
• uned Слоун или другие редакторы не редактировали последовательность, но считают её достойной включения в энциклопедию. Запись может содержать вычислительные ошибки или опечатки. Обычно редакторы проверяют все поступающие последовательности, чтобы убедиться, что:

• последовательность достойна включения в OEIS
• дано вразумительное определение
• этой последовательности ещё нет в базе данных
• в тексте используется корректный английский язык
• используется корректное форматирование
• и т. п.

• unkn О последовательности почти ничего не известно, даже формула. Примером является последовательность A072036.
• walk Последовательность указывает число (несамопересекающихся) путей на некотором графе или решётке.
• word Последовательность зависит от слов того или иного языка. Пример — последовательность A006994, «Число букв в n в русском языке».

Некоторые ключевые слова исключают друг друга, а именно: core и dumb, easy и hard, full и more, less и nice, nonn и sign.

Offset

Смещение — индекс первого приведённого элемента последовательности. Смещение по умолчанию — 0. Смещение большинства последовательностей в OEIS равно 0 или 1. В поле указаны два числа, первое из которых — смещение, а второе — индекс первого элемента, абсолютное значение которого превышает 1. Так, в случае последовательности A000001, начинающейся числами a(0) = 0, a(1) = 1, a(2) = 1, a(3) = 1, a(4) = 2, поле «Смещение» содержит числа 0, 5.

Author(s)

Автор (авторы) последовательности — те, кто отправил последовательность в OEIS, даже если она была известна с древних времён.

Extension

Имена тех, кто дополнил последовательность, вместе с датами обновления записи.