Магический квадрат

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Ло Шу (кит. трад. 洛書, упр. 洛书, пиньинь luò shū) Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н. э.

В Западноевропейской традиции этот квадрат называется "Печать Сатурна" (Sigillum Saturni). Параметры квадрата: 3, 9, 15, 45 (3х3, 9 ячеек, сумма по всем направлениям 15, сумма всех чисел в квадрате - 45).[1]

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов[2].

В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37)[3]:

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве[4]. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514).

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Данный квадрат является "Печатью Юпитера" (Sigillum Iouis), имеет параметры: 4, 16, 34, 136 (размер 4х4, 16 ячеек, сумма по направлениям - 34, сумма всех чисел равна 136).[1]

Квадрат или печать Марса (Sigillum Martis) имеет параметры: 5, 25, 65, 325 (размер 5х5, 25 ячеек, сумма по направлениям - 65, сумма всех чисел равна 325).

Печать Солнца (Sigillum Solis) имеет параметры: 6, 36, 111, 666 (размер 6х6, 36 ячеек, сумма по направлениям - 111, сумма всех чисел равна 666).

Печать Венеры (Sigillum Veneris) имеет параметры: 7, 49, 175, 1225 (размер 7х7, 49 ячеек, сумма по направлениям - 175, сумма всех чисел - 1225).

Печать Меркурия (Sigillum Mercurio) имеет параметры: 8, 64, 260, 2080 (размер 8х8, 64 ячейки, сумма по направлениям - 260, сумма всех чисел - 2080).

Печать Луны (Sigillum Lune) имеет параметры: 9, 81, 369, 3321 (размер 9х9, 81 ячейка, сумма по направлениям - 369, сумма всех чисел - 3321).

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия[5]:

Есть еще несколько подобных примеров:

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Пандиагональный или дьявольский квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 в стандартной форме Френикля — с точностью до поворотов и отражений. Пандиагональный квадрат сохраняет свойства при параллельном переносе строк или столбцов. Поэтому единицу можно переместить в левый верхний угол. Таких пандиагональных квадратов на плоскости 12. Они приведены ниже:

На торе каждой четвёрке таких квадратов соответствует один квадрат. Это происходит потому, что если разрезать тор, начиная с единичной клетки как угловой, то это можно сделать четырьмя способами, сопоставляя каждому из четырёх углов единичной клетки угол плоского квадрата. Поэтому пандиагональных квадратов на торе всего 3. Для изображения торического квадрата на плоскости можно использовать любой из соответствующей ему четвёрки.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности ${\displaystyle n=4k+2}$ (${\displaystyle k=1,2,3,\dots }$).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные[6].

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

Разломанные диагонали пандиагонального квадрата

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный[7]. Пример идеального магического квадрата:

Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время существуют идеальные квадраты порядка n = 8[8]. Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9…и порядка n = 8^p, p=2,3,4…[9] В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,…

Описан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц».

Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером n на n. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.

${\displaystyle Y}$ 4 5 3 4 10 2 3 9 15 1 2 8 14 20 0 1 7 13 19 25 -1 6 12 18 24 -2 11 17 23 -3 16 22 -4 21 . ${\displaystyle X}$ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним её диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до ${\displaystyle N^{2}}$.

После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.

${\displaystyle Y}$ 4 3 2 3 16 9 22 15 1 20 8 21 14 2 0 7 25 13 1 19 -1 24 12 5 18 6 -2 11 4 17 10 23 -3 -4 . ${\displaystyle X}$ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Кроме того, данный способ является верным и в том случае, если магический квадрат нужно составить не из чисел от 1 до N, но и от K до N, где 1 <= K< N.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.[10][11] Найти все магические квадраты порядка ${\displaystyle n}$ удается только для ${\displaystyle n\leq 4}$, поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при ${\displaystyle n>4}$. Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами ${\displaystyle (i,j)}$ (где ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ меняются от 1 до ${\displaystyle n}$) поставить число (Примечание: данная формула верна для всех квадратов нечётного порядка, кроме квадратов вида ${\displaystyle n=6k+3,k=0,1,2...}$. В этих квадратах сумма чисел на главной диагонали на N больше магической константы.)

${\displaystyle 1+((i+j-1+(n-1)/2){\bmod {n}})n+((i+2j+2){\bmod {n}}).}$

Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n x n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; нижняя левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1.

Также разработаны алгоритмы построения пандиагональных квадратов[12][13] и идеальных магических квадратов 9x9.[14] [15] Эти результаты позволяют строить идеальные магические квадраты порядков ${\displaystyle n=9(2k+1)}$ для ${\displaystyle k=0,1,2,3,\dots }$.[7][16] Существуют также общие методы компоновки идеальных магических квадратов нечётного порядка ${\displaystyle n>3}$.[17] [18] Разработаны методы построения идеальных магических квадратов порядка n=8k, k=1,2,3…[19] и совершенных магических квадратов.[20] Пандиагональные и идеальные квадраты четно-нечётного порядка удаётся скомпоновать лишь в том случае, если они нетрадиционные.[21][22] [23] Тем не менее, можно находить почти пандиагональные квадраты[24] Найдена особая группа идеально-совершенных магических квадратов (традиционных и нетрадиционных)[25].