Магический шестиугольник

Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=3.}$

Вычислим магическую константу ${\displaystyle M.}$ С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до ${\displaystyle 3n^{2}-3n+1}$ (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелограмма). То есть, сумма всех чисел в гексагоне

${\displaystyle S={\cfrac {3n^{2}-3n+1}{2}}(3n^{2}-3n+2).}$

С другой стороны, есть ${\displaystyle 2n-1}$ рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна ${\displaystyle M,}$ то во всём шестиугольнике будет ${\displaystyle S=M(2n-1).}$

Приравняв суммы, получим, что

${\displaystyle 32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{\cfrac {5}{2n-1}}}$

Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число.

Значит, ${\displaystyle {\cfrac {5}{2n-1}}}$ — это целое число, что возможно только при ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=3.}$

QED.

Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от ${\displaystyle n=3}$ не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.

Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.

14    33    30    34       39     6    24    20    22    37    13    11     8    25    17 21    23     7     9     3    10    38    36     4     5    12    28    26       35    16    18    27    15          19    31    29    32	41    51    63    45    44           64    25    40    46    35    34        23    20    10    56    27    42    66     55    38    19     9     6    22    48    47  61    58    18    11     8     7    13    15    53     52    37    14    16    30    12    24    59        57    32    29    21    17    39    49           31    36    62    28    54    33              43    26    60    65    50	56    61    70    67    51          55    45    36    48    53    68       74    37    26    29    27    39    73    62    42    33    19    16    31    38    64 58    57    22    20    15    18    23    43    49    63    47    28    21    17    30    34    65       71    35    24    32    25    46    72          59    44    40    41    52    69             54    60    75    66    50
Порядок 4 ${\displaystyle M=111}$ Начинается с ${\displaystyle 3}$ и кончается ${\displaystyle 39}$	Порядок 5 ${\displaystyle M=244}$ Начинается с ${\displaystyle 7}$ и кончается ${\displaystyle 66}$.	Порядок 5 ${\displaystyle M=305}$ Начинается с ${\displaystyle 15}$ и кончается ${\displaystyle 75}$.

Магический гексагон порядка ${\displaystyle n=6}$, начинающийся с ${\displaystyle 21}$ и кончающийся ${\displaystyle 111}$ (${\displaystyle M=546}$) был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.

Гексагон порядка ${\displaystyle n=7}$, начинающийся с 2 и кончающийся 128 (${\displaystyle M=635}$) был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.

Наибольший из известных на данный момент гексагон подярка ${\displaystyle n=8}$, начинающийся с −84 и кончающийся 84 (${\displaystyle M=0}$) был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.

• Магический и супермагический квадрат
• Магический куб
• Чисугвимундо

• Baker. J. E. and King, D. R. (2004) «The use of visual schema to find properties of a hexagon» Visual Mathematics, Volume 5, Number 3
• Baker, J. E. and Baker, A. J. (2004) «The hexagon, nature’s choice» Archimedes, Volume 4