Рамочный магический квадрат

Один из простейших методов, касающихся заполнения квадратов порядка n=2k+1, принадлежит ал-Караджи (Х в.).[1]

Рассмотрим метод в общем случае.

Построение рамки начинается слева от правого верхнего угла, в который записывают число 1. Число 2 помещают в клетку, расположенную под правой верхней;

3 — слева от 1; 4 — под 2 и т. д. до числа 2(k-1). Число 2k-1 записывают под предыдущим; 2k — в левом верхнем углу;

2k+1 — в середине нижней части рамки; число 2(k+1) помещают в левый нижний угол, а следующий — справа от него. Число 3k располагают над 2(k+1).

Дальнейшее заполнение осуществляется аналогично размещению чисел в правом верхнем углу. Последним записывают число ((2k+1)∙4-4)/2=4k . При заполнении оставшихся клеток рамки из (2k+1)2+1 вычитают числа, стоящие в соответствующих клетках углах рамки.

Следующая рамка (2k-3)×(2k-3) строится аналогичным образом, начиная с числа 4k+1 и т. д. Наконец, внутри рамки составляется магический квадрат порядка 3.

Квадрат, иллюстрирующий данный метод, представлен ниже:

Следующий метод принадлежит «Чистым братьям и Верным друзьям».[1] Поскольку в рукописи описания метода не было, то ниже представлена его реконструированная версия, рассмотренная в общем случае и показанная на примере магического квадрата порядка 7 (n=7, k=3).

Независимо от порядка заполнение начинают с наименьшего квадрата. Первое число помещают во вторую сверху ячейку, крайнего правого столбца, в котором заполняется n−2 ячейки, до предпоследней;

Следующее число помещают в последнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют строку полностью, до предпоследней ячейки;

Оставшиеся рамки заполняют аналогично, рисунок ниже;

Далее переходят к заполнению «пустой» главной диагонали, записывая числа в их естественном порядке .

Пустые ячейки рамки заполняют, дополняя их в сумме с противоположными до числа (n²+1)/2;

Следующим шагом k−1 число в правом столбце, через одну ячейку, считая от предпоследней снизу, меняют местами с соответствующими числами левого столбца; и k чисел в верхней строке, через одно, считая от первой ячейки, с соответствующими числами нижней строки.

В результате получаем рамочный магический квадрат, представленный ниже:

Алгоритм построения квадрата порядка 2(2k+1)×2(2k+1) рассмотрим в общем виде:

В ячейку правого нижнего угла помещают 1, число 2 располагают в ячейке первой строки так, как если бы она была под последней строкой. Аналогичным образом продолжают заполнять правый крайний столбец до тех пор, пока не достигнут числа 2(2k+1) −1;

Число 2(2k+1) помещают в предпоследнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют (2k+1) клетку в направлении к 2;

Следующее число помещают в ячейку правого крайнего столбца, под числом 2(2k+1) −1 и в направлении к 1 полностью заполняют правый столбец;

Следующее число помещают в пустую ячейку первой строки и заполняют её полностью в направлении к 1;

Пустые ячейки нижней строки и крайнего левого столбца, кроме угловых ячеек, заполняются дополнительными числами к (2k+1)2+1, к соответственно противоположным. Угловые ячейки заполняются дополнительными числами до n²+1 к противоположным угловым;

(2k+1) число правого столбца после верхней угловой ячейки меняют местами с соответствующими числами левого столбца. Аналогично поступают с 2k числами первой строки, стоящих на втором и предпоследнем местах, с соответствующими числами нижней строки. Таким образом, получаем внешнюю рамку квадрата;

Остальные рамки заполняют аналогично;

Ниже изображён квадрат порядка 6, построенный по данному методу: