Числа Каталана

n-е число Каталана ${\displaystyle C_{n}}$ можно определить несколькими эквивалентными способами, такими как[1]:

• Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями.
• Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.
• Количество правильных скобочных последовательностей длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом её префиксе открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.
  • Например, для n = 3 существует 5 таких последовательностей:

    ((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

    то есть ${\displaystyle C_{3}=5}$.

• Количество кортежей ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ из n натуральных чисел, таких, что ${\displaystyle x_{1}=1}$ и ${\displaystyle x_{i}\leqslant x_{i-1}+1}$ при ${\displaystyle 2\leqslant i\leqslant n}$.
• Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n + 1 листьями.
• Количество всевозможных способов линеаризации декартова произведения 2 линейных упорядоченных множеств: из 2 и из n элементов.
• Количество путей Дика из точки(0,0) в точку (n, n).[2]

• Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:

  ${\displaystyle C_{0}=1\quad }$ и ${\displaystyle \quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}C_{i}C_{n-1-i}}$ для ${\displaystyle n\geqslant 1}$.

Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильная скобочная последовательность однозначно представима в виде w = (w₁)w₂, где w₁, w₂ — правильные скобочные последовательности.

• Есть ещё одно рекуррентное соотношение:

${\displaystyle C_{0}=1\quad }$ и ${\displaystyle \quad C_{n}={\binom {2n}{n}}-\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\binom {2n-2k-1}{n-k}}}$.

• Ещё одна рекуррентная формула:

${\displaystyle C_{0}=1\quad }$ и ${\displaystyle \left(n+1\right){{C}_{n}}={{4}^{n}}-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{{4}^{n-k}}{{C}_{k}}}}$. Если положить ${\displaystyle c_{n}={\frac {C_{n}}{4^{n}}}}$, то получается удобная для вычислений рекурсия ${\displaystyle c_{0}=1}$, ${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{2\left(n+1\right)}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{c_{k}}}$.

Отсюда следует: ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\frac {C_{k}}{4^{k}}}=}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{c_{k}}=2}$.

• Также существует более простое рекуррентное соотношение:

  ${\displaystyle C_{0}=1\quad }$ и ${\displaystyle \quad C_{n}={\frac {2(2n-1)}{n+1}}C_{n-1}}$.

• Производящая функция чисел Каталана равна:

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}z^{n}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}.}$

• Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты:

  ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {1}{2n+1}}{2n+1 \choose n}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n-1}}.}$

Другими словами, число Каталана ${\displaystyle C_{n}}$ равно разности центрального биномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строке треугольника Паскаля.

• Асимптотически ${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}.}$

• Размещение
• Сочетание
• Перестановка

• С. К. Ландо. Лекции по комбинаторике. — МЦНМО, 1994.
• А. Шень. Разделы 2.6 и 2.7 // Программирование: теоремы и задачи. — M.: МЦНМО, 2017.
• Stanley, Richard P. (2013), Catalan addendum to Enumerative Combinatorics, Volume 2, <http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.pdf>
• Weisstein, Eric W. Catalan Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.