Размещение

Количество размещений из n по k, обозначаемое ${\displaystyle A_{n}^{k}}$, равно убывающему факториалу:

${\displaystyle A_{n}^{k}=n^{\underline {k}}=(n)_{k}=n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}}$.

Элементарным образом выражается через символ Похгаммера:

${\displaystyle A_{n}^{k}=(n-k+1)_{k}}$.

Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по k и некоторой перестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$, в то время как перестановок на k элементах ровно k! штук.

При k = n количество размещений равно количеству перестановок порядка n:[2][3][4]

${\displaystyle A_{n}^{n}=P_{n}=n!}$.

Справедливо следующее утверждение:${\displaystyle A_{n}^{n-1}=A_{n}^{n}}$. Доказывается тривиально:

${\displaystyle A_{n}^{n-1}={\frac {n!}{(n-(n-1))!}}={\frac {n!}{(n-n+1)!}}=n!=A_{n}^{n}}$.

Все 60 вариаций без повторения трех из пяти чисел

Размещение с повторениями или выборка с возвращением[5] — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз.

Количество размещений с повторениями

По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k, обозначаемое ${\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{k}}$, равно:[6][2][5]

${\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{k}=n^{k}}$.

Например, количество вариантов 3-значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно:

${\displaystyle {\bar {A}}_{10}^{3}=10^{3}=1000}$.

Ещё один пример: размещений с повторениями из 4 элементов a, b, c, d по 2 равно 4² = 16, эти размещения следующие:

aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd.

Все 125 вариантов с повторением трех из пяти чисел

• Обобщённая схема размещения
• Сочетание
• Перестановка