Мечта второкурсника (математическое тождество)

Тождества открыты в 1697 году Иоганном Бернулли. Числовые значения этих констант составляют приблизительно 1.291285997 и 0.7834305107, соответственно.

Название «мечта второкурсника» появилось позже. Оно является отсылкой к «мечте первокурсника», что в свою очередь означает шуточное неверное тождество (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ. Однако, в отличие от него, мечта второкурсника — пара верных тождеств[1].

Доказательства этих тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только одно из них.

Вначале, представим ${\displaystyle x^{x}}$ как:

${\displaystyle x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}}$.

Тогда

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx}$.

По свойству равномерной сходимости степенных рядов можно поменять местами суммирование и интеграл. Получим:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx}$.

Чтобы получить представленные выше интегралы, заменим переменную ${\displaystyle x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)}$. После этой замены границы интеграла преобразуются в ${\displaystyle 0<u<\infty }$, что даёт нам:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du}$.

По интегральному тождеству Эйлера для Гамма-функции:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!}$,

таким образом:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}}$.

Просуммировав и изменив индексацию (она начинается с n=1, а не с n=0), получим искомое тождество.