Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Если ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ — различные алгебраические числа, линейно независимые над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ являются алгебраически независимыми над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то есть, степень трансцендентности расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})}$ равна ${\displaystyle n}$

Для любых различных алгебраических чисел ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ числа ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$.