Постоянная Гельфонда — Шнайдера

Квадратный корень из постоянной Гельфонда — Шнайдера является трансцендентным числом:

${\displaystyle {\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1{,}6325269...}$

Это же число может быть использовано для доказательства того, что иррациональное число в степени иррационального числа может быть рациональным, без предварительного доказательства его трансцендентности. Доказательство происходит следующим образом. Если число ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ рационально, то это является доказательством теоремы. В противном случае:

${\displaystyle {\bigl (}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}{\bigr )}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}{\sqrt {2}})}={\sqrt {2}}^{2}=2}$,

что является рациональным числом, а значит, доказывает теорему. Данное доказательство не конструктивно, так как не говорит, какой случай верный, но оно гораздо проще, чем доказательство Р. О. Кузьмина.

Седьмая из двадцати трёх проблем Гильберта, поставленных в 1900 году, заключалась в том, чтобы доказать или найти контрпример утверждения, что ${\displaystyle a^{b}}$ всегда трансцендентно для алгебраических ${\displaystyle a\neq 1,0}$ и иррациональных алгебраических ${\displaystyle b}$. В своём обращении Гильберт привёл два ярких примера, один из которых — постоянная Гельфонда — Шнайдера.

• Постоянная Гельфонда