Число Скьюза

Число Скьюза (англ. Skewes number) — наименьшее натуральное число ${\displaystyle n}$, такое, что, начиная с него, неравенство ${\displaystyle \pi (n)<\operatorname {Li} (n)}$ перестает выполняться, где ${\displaystyle \pi (n)}$ — функция распределения простых чисел, ${\displaystyle \operatorname {Li} (n)=\int \limits _{2}^{n}{\frac {dt}{\ln(t)}}}$ — сдвинутый интегральный логарифм[1].

В 1914 году Джон Литтлвуд дал неконструктивное доказательство того, что такое число существует.

В 1933 году Стэнли Скьюз оценил это число, исходя из гипотезы Римана, как ${\displaystyle \exp ^{3}(79)=e^{e^{e^{79}}}\approx 10^{10^{10^{34}}}}$ — первое число Скьюза, обозначающееся ${\displaystyle \mathrm {Sk} _{1}}$.

В 1955 году Стэнли Скьюз дал оценку без предположения о верности гипотезы Римана: ${\displaystyle \exp ^{4}(7{,}705)=e^{e^{e^{e^{7{,}705}}}}\approx 10^{10^{10^{963}}}}$ — второе число Скьюза, обозначающееся ${\displaystyle \mathrm {Sk} _{2}}$. Это одно из самых больших чисел, когда-либо применявшихся в математических доказательствах, хотя и намного меньше, чем число Грэма.

В 1987 году Герман Риел без предположения гипотезы Римана ограничил число Скьюза величиной ${\displaystyle e^{e^{27/4}}}$, что приблизительно равно 8,185·10³⁷⁰.

К 2021 году известно, что число Скьюза заключено между 10¹⁹[2] и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108}[4].