Константа Эмбри — Трефетена

Для некоторого положительного числа ${\displaystyle \beta }$ рассмотрим рекуррентную последовательность:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}}$

где знак в сумме, плюс или минус, выбирается для каждого n случайно, с равной вероятностью.

Можно доказать, что для любого ${\displaystyle \beta }$, предел

${\displaystyle \sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }({|x_{n}|}^{1/n})}$

существует почти наверняка.

Таким образом,

${\displaystyle \sigma <1}$ при ${\displaystyle 0<\beta <\beta ^{*}}$ и ${\displaystyle \sigma >1}$ при ${\displaystyle \beta >\beta ^{*}}$.

Для других значений ${\displaystyle \sigma }$ получаем:

${\displaystyle \sigma (1)=1{,}13198824...}$(константа Висваната)

${\displaystyle \sigma (\beta ^{*})=1}$

• Случайная последовательность Фибоначчи