Константа Ландау — Рамануджана

Если ${\displaystyle N(x)}$ - число целых на отрезке ${\displaystyle [1,\;x]}$, которые являются суммой двух квадратов целых чисел, то

${\displaystyle N(x)={\frac {Cx}{\sqrt {\ln(x)}}}(1+o(1)),}$

где ${\displaystyle C}$ — константа пропорциональности Ландау — Рамануджана:

${\displaystyle C=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\approx 0{,}764\;223\;653\;589\;220\;662\;990\;698\;731\;25.}$

Из теоремы Ландау — Рамануджана следует, что при растущем ${\displaystyle x}$ средняя ошибка приближения целого числа из интервала от 1 до ${\displaystyle x}$ суммой двух квадратов целых чисел не менее ${\displaystyle {\frac {\sqrt {\ln(x)}}{2C}}(1+o(1))}$. Известная сегодня (2013) тривиальная оценка ошибки такого приближения сверху существенно больше — ${\displaystyle O(x^{1/4})}$. Со времен Эйлера существует гипотеза[1] о том, что

${\displaystyle \min _{u,\;w\in \mathbb {Z} }|x-u^{2}-w^{2}|\leqslant x^{\varepsilon },}$

где ${\displaystyle \varepsilon >0,\;\varepsilon }$ — любое, ${\displaystyle x\geqslant x_{1}(\varepsilon )}$.

Данная задача является обобщением проблемы Варинга.

Число ${\displaystyle a}$ представимо в виде ${\displaystyle s^{2}+t^{2}=a}$ (${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle t}$ - целые) тогда и только тогда, когда все простые числа вида ${\displaystyle 4k+3}$ входят в каноническое разложение числа с чётной степенью.[2]

Этот результат впервые был получен Ферма, а доказан Эйлером.

• Weisstein, Eric W. Landau–Ramanujan Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A064533 в OEIS