Проблема Варинга

Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого существует такое число , что всякое натуральное число может быть представлено в виде:

с целыми неотрицательными .

Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Варингом[1], доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня[2].

Основные результаты

До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено для проблемы в случае .

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом[3], оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод[4]. Они ввели две функции — и ;  — наименьшее такое, что проблема Варинга разрешима при ;  — наименьшее такое, что проблема Варинга разрешима при . (Ясно, что .) Харди и Литтлвуд дали для оценку снизу , которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов[5].

Функция известна. Для более фундаментальной функции получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых .

Функция g(n)

Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года[6], что:

.

В 1940-е годы Леонард Диксон, Пиллай (англ. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai), Рубугундай (англ. R. K. Rubugunday) и Нивен[7] с учётом результата Малера (нем. Kurt Mahler)[8] доказали, что это верно за исключением конечного числа значений , превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений :

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …[9]

Примечательно, что, например, для только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

Функция G(n)

В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм[10], это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для . После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:

.

Применяя сконструированную им -адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил[11] эту оценку. При :

.

В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года[12], затем — в 1995 году[13]:

.

Воган и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью[14], в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вогана 1989 года[15].

Границы[14]
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Фактически величина известна только для 2 значений аргумента, именно и .

Сумма квадратов: G(2)

В соответствии с теоремой Лагранжа любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Также легко показать, что числа, дающие остаток 7 при делении на 8, не представимы в виде суммы менее чем 4 квадратов. Таким образом .

Сумма кубов: G(3)

Легко доказать, что . Это следует из того, что кубы всегда сравнимы с 0, 1 или −1 по модулю 9.

Линник доказал, что в 1943 году[5]. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4 (то есть ), так как из чисел, меньших 1.3⋅109, последнее число, которое потребует шесть кубов это 1 290 740, и количество чисел между N и 2N, требующих пять кубов, падает при увеличении N с достаточно большой скоростью[16]. Наибольшее известное число, которое, возможно, не представимо в виде суммы четырёх кубов, это 7 373 170 279 850, и есть основания думать, что это наибольшее такое число[17]. Любое неотрицательное число можно представить в виде 9 кубов, и существует гипотеза, что наибольшие числа, требующие минимум 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, это 239, 454, 8042, 1 290 740 и 7 373 170 279 850[18] соответственно, а их количество — 2, 17, 138, 4060, 113 936 676[18] соответственно.

Сумма четвёртых степеней: G(4)

Известно значение для — это 16. Этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт[19].

Для чисел вида 31·16n необходимо по крайней мере шестнадцать четвёртых степеней. Число 13 792 требует 17 четвёртых степеней, а любое число, большее него может быть представлено в виде суммы шестнадцати четвёртых степеней. Это было доказано для чисел меньших 10245 в 2000 году[20], а для остальных чисел в 2005 году[21] улучшением результата Дэвенпорта.

Сумма пятых степеней: G(5)

617 597 724 — это последнее число, меньшее 1.3⋅109, которое потребует 10 пятых степеней, и 51 033 617 — это последнее число, меньшее 1.3⋅109, которое потребует 11. На основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что .

Помимо точных значений открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми»[22].

Обобщения

Проблема Варинга — Гольдбаха

Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху [23].

На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков[24], однако в единственной статье 2009 года[25] даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха[26].

Точность представления целого числа суммой степеней

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной .

Все натуральные числа, за исключением чисел вида представимы в виде . Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из , то одним квадратом можно подойти к на расстояние порядка . Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к на расстояние порядка . А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что

где  — любое, . Заменить в предыдущем рассуждении на со сколь угодно малым фиксированным , не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века[27].

Многомерный аналог проблемы Варинга

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил[28][29] двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:

,

где  — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, , а  — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если , а если , то существуют такие , что система не имеет решений.

Родственные задачи

В теории диофантовых уравнений близкими к проблеме Варинга являются задачи представления натурального числа суммой значений многочлена одной переменной и однородным многочленом нескольких переменных. Известно, что любое натуральное число представимо суммой трёх треугольных чисел , а все достаточно большие нечётные целые представимы трёхчленной квадратичной формой Рамануджана . Согласно теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теореме Лежандра о трёх квадратах и для того, и для другого требуется сумма не менее четырёх квадратов.

Проблемой Варинга в научных статьях могут называться и более частные задачи[30].

Примечания

  1. Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
  2. 11P05 Waring’s problem and variants] // Mathematical Subject Classification, 2010
  3. Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67, pages 281—300 (1909)
  4. Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.
  5. Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.
  6. Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)
  7. Niven, Ivan M. An unsolved case of the Waring problem (англ.) // American Journal of Mathematics : journal. — The Johns Hopkins University Press, 1944. Vol. 66, no. 1. P. 137—143. doi:10.2307/2371901. — .
  8. Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II (англ.) // Mathematika : journal. — 1957. Vol. 4. P. 122—124.
  9. последовательность A002804 в OEIS
  10. Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.
  11. Карацуба, А. А. О функции G(n) в проблеме Варинга // Известия РАН. Серия математическая.. — 1985. № 49:5. С. 935—947.
  12. Wooley T. D. Large improvements in Waring’s problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.
  13. Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.
  14. Vaughan R. C., Wooley T. D. Waring's Problem: A Survey Number Theory for the Millennium (неопр.). A. K. Peters, 2002. — Т. III. — С. 301—340. — ISBN 978-1-56881-152-9.
  15. Vaughan R. C. A new iterative method in Waring’s problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.
  16. Nathanson (1996, p. 71)
  17. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by. 7373170279850 (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 2000. Vol. 69, no. 229. P. 421—439. doi:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.
  18. Władysław Narkiewicz. Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT. — Springer Science & Business Media, 2011-09-02. — 659 с. — ISBN 9780857295323.
  19. Davenport H. // Ann. of Math., 1939, № 40, p. 731—747
  20. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard. Waring's Problem for sixteen biquadrates - numerical results (неопр.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. — 2000. Т. 12. С. 411—422. doi:10.5802/jtnb.287.
  21. JM Deshouillers and K Kawada and TD Wooley. On Sums of Sixteen Biquadrates (Mémoires de la Société Mathématique de France 100) (англ.) // Société Mathématique de France. — 2005.
  22. Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми Архивная копия от 6 июня 2014 на Wayback Machine. — Диссертация … кандидата физико-математических наук.
  23. Hua Lo Keng Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.
  24. И. О. декана механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, профессор Владимир Николаевич Чубариков
  25. Чубариков В. Н. К проблеме Варинга — Гольдбаха // Доклады Академии наук. — 2009. Т. 427, № 1, с. 24—27
  26. Рецензия: Zbl 1220.11128
  27. Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11, с.22
  28. Архипов Г. И., Карацуба А. А. Многомерный аналог проблемы Варинга (неопр.) // Докл. АН СССР. — 1987. № 295:3. С. 521—523.
  29. Karatsuba A. A. Waring's problem in several dimension (неопр.) // Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. — 1988. № 42. С. 5—6.
  30. О проблеме Варинга для тернарной квадратичной формы и произвольной четной степени

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.