Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов утверждает, что

всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Доказательство теоремы предоставляет собой алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа $N$ с помощью $O(N^{2}\log _{2}{N})$ арифметических операций[1], где $O$ — «o» большое.

Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов[2].

Теорема является решением проблемы Варинга для степени $n=2$ . Поскольку числа вида $4^{m}(8n+7),$ где ${\overline {m,n}}={\overline {0,1,2,\;\ldots }},$ не представимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах[3], то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди $G(2)=4$ .

Примеры

${\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2};\\31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2};\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2};\\9&=3^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}$

История

Утверждение теоремы впервые появилось в Арифметике Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа[3] и много сделал лично для Лагранжа. Однако Лагранж опередил Эйлера и доказал теорему в 1770 году.

Примечания

Тихомиров В. М. Глава 4. Лагранж и его теорема о четырёх квадратах // Великие математики прошлого и их великие теоремы. — 2-е изд., испр. — МЦНМО, 2003. — Т. 1. — 16 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-94057-110-7.
Дрозд Ю. А. Теорема о четырёх квадратах // Математика сегодня / Ред. А. Я. Дороговцев. — К.: Вища школа, 1982. — С. 88—93.
Современные проблемы математики: Рецензируемое издание Математического института имени В. А. Стеклова РАН. — 2008. — Выпуск № 11. — С. 22.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Тихомиров В. М. Глава 4. Лагранж и его теорема о четырёх квадратах // Великие математики прошлого и их великие теоремы. — 2-е изд., испр. — МЦНМО, 2003. — Т. 1. — 16 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-94057-110-7.

[2] Дрозд Ю. А. Теорема о четырёх квадратах // Математика сегодня / Ред. А. Я. Дороговцев. — К.: Вища школа, 1982. — С. 88—93.

[Карацуба-3] Современные проблемы математики: Рецензируемое издание Математического института имени В. А. Стеклова РАН. — 2008. — Выпуск № 11. — С. 22.