Кватернион

Кватернионы можно определить как сумму

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

где ${\displaystyle a,b,c,d}$ — вещественные числа

${\displaystyle i,j,k}$ — мнимые единицы со следующим свойством: ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$, при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным): ${\displaystyle ij=k}$, a ${\displaystyle ji=-k}$.

Таблица умножения базисных кватернионов ${\displaystyle 1,i,j,k}$

X	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Кватернион представляет собой пару ${\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right),}$ где ${\displaystyle {\vec {u}}}$ — вектор трёхмерного пространства, а ${\displaystyle a}$ — скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

${\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+{\vec {v}}\right).}$

Произведение определяется следующим образом:

${\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right),}$

где ${\displaystyle \cdot }$ обозначает скалярное произведение, а ${\displaystyle \times }$ — векторное произведение.

В частности,

${\displaystyle \left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\right)=\left(0,a{\vec {v}}\right),}$

${\displaystyle \left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right),}$

${\displaystyle \left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right).}$

Заметим, что:

• Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством дистрибутивности;
• Антикоммутативность векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Произвольный кватернион ${\displaystyle \ q=a+bi+cj+dk}$ можно представить как пару комплексных чисел в виде

${\displaystyle \ q=(a+bi)+(c+di)j}$

или эквивалентно

${\displaystyle \ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,}$

где ${\displaystyle \ z_{1},z_{2}}$ — комплексные числа, поскольку ${\displaystyle \ i^{2}=-1}$ выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а ${\displaystyle k=ij}$.

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$

При такой записи:

• сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:

  ${\displaystyle {\bar {q}}\mapsto Q^{T}}$;

• четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

  ${\displaystyle \left|q\right|^{4}=\det Q.}$

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},}$

здесь ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ и ${\displaystyle {\bar {\beta }}}$ обозначают комплексно-сопряжённые числа к ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$.

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

• комплексному числу соответствует диагональная матрица;
• сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:

  ${\displaystyle {\bar {q}}\mapsto {\bar {Q}}^{T}}$;

• квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

  ${\displaystyle \left|q\right|^{2}=\det Q.}$

Для кватерниона ${\displaystyle q}$ сопряжённым называется:

${\displaystyle {\bar {q}}=a-bi-cj-dk.}$

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

${\displaystyle {\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}.}$

Для кватернионов справедливо равенство

${\displaystyle {\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk).}$

Так же, как и для комплексных чисел,

${\displaystyle \left|q\right|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$

называется модулем ${\displaystyle q}$. Если ${\displaystyle \left|q\right|=1,}$ то ${\displaystyle q}$ называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: ${\displaystyle \left\|z\right\|=\left|z\right|}$.

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что ${\displaystyle \left|p\cdot q\right|=\left|p\right|\cdot \left|q\right|,}$ иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Кватернион, обратный по умножению к ${\displaystyle q}$, вычисляется так: ${\displaystyle q^{-1}={\frac {\bar {q}}{\left|q\right|^{2}}}}$.

Существует 24 целых единичных кватерниона:

${\displaystyle \pm 1}$; ${\displaystyle \pm i}$; ${\displaystyle \pm j}$; ${\displaystyle \pm k}$; ${\displaystyle {\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2}}.}$

Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4х-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3х-мерным многогранником-кубооктаэдром).

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.[4] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона ${\displaystyle N(q)}$ в произведение простых целых положительных чисел ${\displaystyle N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}}$ существует разложение кватерниона ${\displaystyle q}$ в произведение простых кватернионов ${\displaystyle q=q_{1}q_{2}...q_{n}}$ такое, что ${\displaystyle N(q_{i})=p_{i}}$. Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

${\displaystyle q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar {\epsilon }}_{n-1}q_{n}\right)}$,

где ${\displaystyle \epsilon _{1}}$, ${\displaystyle \epsilon _{2}}$, ${\displaystyle \epsilon _{3}}$, … ${\displaystyle \epsilon _{n-1}}$ — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион ${\displaystyle q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)}$ имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

${\displaystyle 60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2}$

${\displaystyle 60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2}$

Общее число разложений такого кватерниона равно ${\displaystyle 24^{3}\cdot 12=165888}$

Знак кватерниона вычисляется так:

${\displaystyle \operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.}$

Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:

${\displaystyle \arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.}$

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона ${\displaystyle q}$ в виде

${\displaystyle q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \,q}.}$

Здесь ${\displaystyle a}$ — вещественная часть кватерниона, ${\displaystyle \mathrm {i} =\left|\mathbf {u} \right|^{-1}\mathbf {u} }$. При этом ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$, поэтому проходящая через ${\displaystyle q}$ и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид ${\displaystyle a+b\mathrm {i} }$ для фиксированного единичного вектора ${\displaystyle \mathrm {i} }$. В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если ${\displaystyle f(a+b\mathrm {i} )=c+d\mathrm {i} }$ для комплексных чисел, то ${\displaystyle f(q)=c+d\mathbf {i} }$, где кватернион ${\displaystyle q}$ рассматривается в «комплексном» представлении ${\displaystyle q=a+b\mathbf {i} }$.

Степень и логарифм

${\displaystyle \exp q=\exp a\left(\cos \left|\mathbf {u} \right|+\sin \left|\mathbf {u} \right|{\hat {\mathbf {u} }}\right)}$

${\displaystyle \ln q=\ln \left|q\right|+\arg q\,{\hat {\mathbf {u} }}}$

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до ${\displaystyle 2\pi {\hat {\mathbf {u} }}}$.

Тригонометрические функции

${\displaystyle \sin q=\sin a\,\operatorname {ch} \left|\mathbf {u} \right|+\cos a\,\operatorname {sh} \left|\mathbf {u} \right|{\hat {\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle \cos q=\cos a\,\operatorname {ch} \left|\mathbf {u} \right|-\sin a\,\operatorname {sh} \left|\mathbf {u} \right|{\hat {\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,q={\frac {\sin q}{\cos q}}}$

Отображение ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

${\displaystyle f(ax)=af(x)}$

${\displaystyle x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R} }$

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — поле действительных чисел. Если ${\displaystyle f}$ является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$ отображение

${\displaystyle (afb)(x)=af(x)b}$

является линейным отображением. Если ${\displaystyle f}$ — тождественное отображение (${\displaystyle f(x)=x}$), то для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$ мы можем отождествить тензорное произведение ${\displaystyle a\otimes b}$ с отображением

${\displaystyle (a\otimes b)\circ x=axb}$

Для любого линейного отображения ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ существует тензор ${\displaystyle a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H} }$, ${\displaystyle a=a_{s0}\otimes a_{s1}}$, такой, что

${\displaystyle f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1}}$

В приведённых выше равенствах предполагается суммирование по индексу ${\displaystyle s}$. Поэтому мы можем отождествить линейное отображение ${\displaystyle f}$ и тензор ${\displaystyle a}$.

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию ${\displaystyle f}$ как имеющую предел

${\displaystyle {\frac {df}{dq}}=\lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f\left(q+h\right)-f\left(q\right)\right)\right]}$

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки ${\displaystyle q}$ вид

${\displaystyle f=a+qb}$

где ${\displaystyle a,b}$ — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}={\frac {\partial }{\partial t}}-{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

и рассмотрении таких кватернионных функций ${\displaystyle f}$, для которых[5]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}=0}$

что полностью аналогично использованию операторов ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[6].

Непрерывное отображение ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ называется дифференцируемым на множестве ${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$, если в каждой точке ${\displaystyle x\in U}$ изменение отображения ${\displaystyle f}$ может быть представлено в виде

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)}$

где

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

линейное отображение алгебры кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} }$ и ${\displaystyle o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ такое непрерывное отображение, что

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0}$

Линейное отображение ${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}}$ называется производной отображения ${\displaystyle f}$.

Производная может быть представлена в виде[7]

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Соответственно дифференциал отображения ${\displaystyle f}$ имеет вид

df=${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Здесь предполагается суммирование по индексу ${\displaystyle s}$. Число слагаемых зависит от выбора функции ${\displaystyle f}$. Выражения ${\displaystyle {\frac {d_{s0}df(x)}{dx}}}$ и ${\displaystyle {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$ называются компонентами производной.

Для произвольного кватерниона ${\displaystyle a}$ верно равенство

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))}$

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов (${\displaystyle pq}$).

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берётся сопряжённый к нему: ${\displaystyle {\bar {p}}q}$. Оно также некоммутативно.

Аналогично одноимённой операции для векторов:

${\displaystyle p\cdot q={\frac {{\bar {p}}q+{\bar {q}}p}{2}}}$.

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, ${\displaystyle \left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b}$.

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

${\displaystyle \left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}}$.

${\displaystyle \operatorname {Outer} \left(p,q\right)={\frac {{\bar {p}}q-{\bar {q}}p}{2}}}$.

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

${\displaystyle p\times q={\frac {pq-qp}{2}}}$.