Процедура Кэли — Диксона

Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т. д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).

Свойства алгебр Кэли — Диксона
Алгебра	Размер- ность (n)	Упорядо- ченность	Свойства умножения				Отсутствие нетрив. делителей нуля
Алгебра	Размер- ность (n)	Упорядо- ченность	Коммута- тивность	Ассоциа- тивность	Альтерна- тивность	Степенная ассоциа- тивность	Отсутствие нетрив. делителей нуля
Действитель- ные числа ( $\mathbb {R}$ )	1	Да	Да	Да	Да	Да	Да
Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ )	2	Нет	Да	Да	Да	Да	Да
Кватернионы ( $\mathbb {H}$ )	4	Нет	Нет	Да	Да	Да	Да
Октонионы ( $\mathbb {O}$ )	8	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Да
Седенионы ( $\mathbb {S}$ )	16	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет
	> 16	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет

Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению[1] являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения.

В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности[2]^:45.

Общий случай

Если для некоторых чисел $a$ и $b$ существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как $\ |a|^{2}=a{\bar {a}}$ (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел $(a,b)$ :

$(a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})$ — закон умножения пар,

${\overline {(a,b)}}=({\bar {a}},-b)$ — сопряжённая пара.

Свойства

(расширенная) норма упорядоченной пары:

|(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)=(a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2}+|b|^{2}

— равна нулю только при a = b = 0.

Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление $\ r/q$ определяется как ${\frac {r{\bar {q}}}{|q|^{2}}}$ или ${\frac {{\bar {q}}r}{|q|^{2}}}$ — значит, из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.

Если для чисел выполняется $\ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a}},$ это выполняется и для упорядоченных пар:

{\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{\bar {c}})=({\bar {c}},-d)({\bar {a}},-b)={\overline {(c,d)}}\cdot {\overline {(a,b)}}.

Если исходная алгебра ассоциативна, то расширенная алгебра нормирована, поскольку:

|rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)}}=(rq)({\bar {q}}{\bar {r}})=r(q{\bar {q}}){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Наследуемые

Если исходная алгебра имеет единицу, то (1, 0) — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней.

Ослабляемые

Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля R с тождественным сопряжением получается поле C (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) H, откуда получается неассоциативная алгебра O, но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т. к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Приложения

Комплексные числа

Процедура Кэли — Диксона соответствует определению комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных чисел.

Кватернионы

Произвольный кватернион $\ q=a+bi+cj+dk$ можно представить в виде $\ q=(a+bi)+(c+di)j$ или, эквивалентно, $\ q=z_{1}+z_{2}\cdot j,\quad z_{1}=a+b\cdot i,\quad z_{2}=c+d\cdot i,$ где $\ z_{1},z_{2}$ — комплексные числа, поскольку $\ i^{2}=-1$ выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а $k=i\cdot j$ .

Возьмём ещё один кватернион $\ r=w_{1}+w_{2}j.$ Перемножив и раскрыв скобки (т. к. умножение кватернионов ассоциативно), получим:

\ qr=(z_{1}+z_{2}j)(w_{1}+w_{2}j)=z_{1}w_{1}+z_{1}w_{2}j+z_{2}jw_{1}+z_{2}jw_{2}j.

Поскольку $\ zj=j{\bar {z}},\;zw=wz,$ то, переставляя множители, получим: $\ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2}}}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar {w_{1}}})j.$

Следовательно, кватернионы можно определять как выражения вида $\ z_{1}+z_{2}\cdot j$ , удовлетворяющие вышеприведённой формуле умножения. Эта формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т. е. кватернионов с $z_{2}=w_{2}=0$ ).

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имеет квадрат, равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять[3] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда, тогда норму и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Примечания

Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа (рус.). — Москва: Наука, 1973. — С. 33—34. — 144 с.
Schafer, Richard D. (1995), An introduction to non-associative algebras, Dover Publications, ISBN 0-486-68813-5, <https://archive.org/details/introductiontono0000scha>
Альберт, Абрахам Адриан. Quadratic forms permitting composition. Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161–177

Ссылки

Dickson, L. E. (1919), On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem, Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865
HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, "Наука". — 1973.
Е.А. Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Kantor_ru-1] Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа (рус.). — Москва: Наука, 1973. — С. 33—34. — 144 с.

[Sch66-2] Schafer, Richard D. (1995), An introduction to non-associative algebras, Dover Publications, ISBN 0-486-68813-5, <https://archive.org/details/introductiontono0000scha>

[3] Альберт, Абрахам Адриан. Quadratic forms permitting composition. Annals of Mathematics. Second Series, vol. 43, pp. 161–177

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Целые ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Альтернионы Дуальные Гиперкомплексные Супердействительные Гипервещественные Сюрреальные
Инструменты расширения числовых систем	Процедура Кэли — Диксона Теорема Фробениуса Теорема Гурвица
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординалы) p-адические Супернатуральные числа Интервальные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные числа Числовой луч Бикватернион