*-алгебра

*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является

• антиавтоморфизмом, то есть

${\displaystyle \ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle \ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

${\displaystyle \ 1^{*}=1}$

• и инволюцией, то есть

${\displaystyle \ (x^{*})^{*}=x.}$

Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией.

*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в ${\displaystyle R\subset A.}$

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть

${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\;x,y\in A}$.

*-гомоморфизм ${\displaystyle \ f:A\to B}$ — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:

${\displaystyle f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.}$

• Элементы для которых ${\displaystyle \ x^{*}=x}$ называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
• Элементы для которых ${\displaystyle \ x^{*}=-x}$ называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
• Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{*}\cdot y}$.

• Самым известным примером являются комплексные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с операцией сопряжения.
• Квадратные матрицы с комплексными элементами с операцией эрмитового сопряжения.
• Эрмитовое сопряжения линейного оператора в гильбертовом пространстве.

Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:

• Если элемент 2 в кольце обратим, тогда ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-*)}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+*)}$ является ортогональными идемпотентами. Как векторное пространство, алгебра разлагается в прямую сумму подпространств симметричных и анти-симметричных (эрмитовых и анти-эрмитовых) элементов.
• Эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Йордана.
• Анти-эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Ли.

Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки (астериска), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею:

x ↦ x*

или

x ↦ x^∗ (ΤΕΧ: x^*),

но не «x∗» так как символ звёздочки для бинарных операций находится ниже средней линии. Иногда используется также надстрочная черта x, как в комплексном сопряжении, или x^† (поднятый типографский крестик).

• Операторные алгебры
• Процедура Кэли — Диксона иногда строит *-алгебру

• H. G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, с. 142—150.