C*-алгебра

C*-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Частным случаем С*-алгебры является комплексная алгебра над полем A линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

Другой важный класс не-гильбертовых С*-алгебр составляют алгебры непрерывных функций на пространстве .

C*-алгебры впервые были рассмотрены главным образом с целью использования их в квантовой механике для моделирования алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс C*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана.

Примерно в 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали теоретическую характеристику C*-алгебр[1].

C*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп, а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований является классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных C*-алгебр.

Формальное определение

C*-алгеброй называют[2] банахову алгебру A над полем комплексных чисел, для всех элементов которой определено отображение со следующими свойствами:

  • Это отображение — инволюция для каждого x в A:
  • Для всех x, y в A:
  • Для всякого комплексного числа в и всякого x в A:
  • Для всех x в A:

Примечание. Первые три тождества говорят, что A является *-алгеброй. Последнее тождество называется C*-тождеством и эквивалентно формуле

С*-тождество является очень сильным требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:


Ограниченный оператор  : A B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом, если

  • для всех x и y из A выполняется
  • для всех x из A выполняется

В случае C*-алгебр, любой *-гомоморфизм между C*-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой . Кроме того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями C*-тождества.

Биективный *-гомоморфизм называется C*-изоморфизмом, и в этом случае А и B называются изоморфными.

Примечания

  1. I. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217.
  2. Данное определение впервые приведено в статье I. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.