Линейный непрерывный оператор

Линейный непрерывный оператор , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y — это линейное отображение из X в Y, обладающее свойством непрерывности.

Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда Y многомерно. Если Y одномерно, т.е. совпадает с самими полем ( или ), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал[1]. Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y обозначается .

В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.

Свойства

  • Если X конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
  • Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём X).
  • Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
  • Если X и Y — банаховы пространства, и образ оператора  совпадает с пространством Y, то существует обратный оператор  (т.н. теорема об обратном операторе).
  • Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y само является линейным топологическим пространством. Если X и Y нормированы, то также нормировано операторной нормой. Если Y — банахово, то и является таковым, независимо от полноты X.

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X — конечномерное пространство, то оператор будет вполне непрерывным оператором, область его значений будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы[3].

Непрерывность и сходящиеся последовательности

Линейный оператор , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности точек X, из следует .

Пусть ряд сходится и  — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

.

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах линейный оператор можно применять почленно.

Если X, Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если слабо, то слабо.


Связанные определения

  • Линейный оператор называется ограниченным снизу, если .

См. также

Литература

Примечания

  1. Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
  2. Наймарк М. А. Нормированные кольца. М.: Наука, 1968. — 664 с.
  3. Также, в конечномерном пространстве с базисом , линейный непрерывный оператор можно представить в виде , где — функции из сопряжённого пространства.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.