Обратный оператор

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа[8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение ${\displaystyle A}$ банахова пространства ${\displaystyle E}$ на (всё) банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$ открыто[9].

• Пусть линейный оператор ${\displaystyle A}$, отображающий линейное нормированное пространство ${\displaystyle E}$ на линейное нормированное пространство ${\displaystyle E_{1}}$, удовлетворяет для любого ${\displaystyle x\in E}$ условию

${\displaystyle \|Ax\|\geq m\|x\|,}$

где ${\displaystyle m>0}$ — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$[10].

• Пусть ${\displaystyle A}$ — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства ${\displaystyle E}$ в банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle \Delta A}$ — линейный ограниченный оператор из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle E_{1}}$ такой, что ${\displaystyle \|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|}$. Тогда оператор ${\displaystyle B=A+\Delta A}$ имеет ограниченный обратный, причём

${\displaystyle \|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}}$[11][12].

• Пусть ${\displaystyle E}$ — банахово пространство, ${\displaystyle I}$ — тождественный оператор в ${\displaystyle E}$, а ${\displaystyle A}$ — такой линейный ограниченный оператор, отображающий ${\displaystyle E}$ в себя, что ${\displaystyle \|A\|<1}$. Тогда оператор ${\displaystyle (I-A)^{-1}}$ существует, ограничен и представляется в виде ряда

${\displaystyle (I-A)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }A^{k}}$[13].

${\displaystyle g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt}$

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства ${\displaystyle L_{2}(-\infty ,\infty )}$ в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\lambda }$[14].

Для оператора интегрирования

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,}$

действующего в пространстве непрерывных функций ${\displaystyle C[0,1]}$, обратным будет оператор дифференцирования:

${\displaystyle A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),}$

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что ${\displaystyle y(0)=0}$[15].

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля ${\displaystyle Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,}$ определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что ${\displaystyle x(0)=x(1)=0}$, обратным оператором является интегральный оператор

${\displaystyle A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,}$

где ${\displaystyle G(t,\tau )}$ — функция Грина. ${\displaystyle A^{-1}}$ — линейный ограниченный оператор в ${\displaystyle C[0,1]}$[15].

Пусть

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций ${\displaystyle C[0,1]}$. При достаточно малых значениях параметра ${\displaystyle \lambda }$ оператор ${\displaystyle (I-\lambda A)}$ (где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

${\displaystyle (I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\,ds}$,

где ${\displaystyle R(t,s,\lambda )}$ — резольвента ядра ${\displaystyle K(t,s)}$. Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

${\displaystyle x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

при любом свободном члене ${\displaystyle y(t)}$[16].