Теорема об открытом отображении

Теорема об открытом отображении утверждает

Линейный непрерывный оператор $A$ , отображающий банахово пространство $X$ на все банахово пространство $Y$ , является открытым отображением, то есть $A(G)$ открыто в $Y$ для любого $G$ , открытого в $X$ ;

Условиям теоремы об открытом отображении удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве $X$ со значениями в $\mathbb {R}$ (или в $\mathbb {C}$ ).

Теорема доказана Стефаном Банахом. Из неё немедленно следует теорема Банаха о гомеоморфизме:

Непрерывный линейный оператор $A$ , отображающий взаимно однозначно банахово пространство $X$ на банахово пространство $Y$ , является гомеоморфизмом, то есть $A^{-1}$ ― также линейный непрерывный оператор.

Обобщения

Теорема об открытом отображении допускает следующее обобщение:

Непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное топологическое векторное пространство $X$ на бочечное пространство $Y$ , есть открытое отображение.

См. также

Теорема о замкнутом графике

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.