Теорема Банаха об обратном операторе

Теорема Банаха об обратном операторе — один из трёх основных принципов «банаховой» теории линейных операторов (два других — теорема Хана — Банаха и принцип равномерной ограниченности).[1]

Формулировка

Если ограниченный линейный оператор $A$ отображает всё банахово пространство $E$ на всё банахово пространство $E_{1}$ взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор $A^{-1}$ , обратный оператору $A$ , отображающий $E_{1}$ на $E$ .[2]

Следствия

Теорема об открытом отображении

Линейное непрерывное отображение $A$ банахова пространства $E$ на всё банахово пространство $E_{1}$ открыто.[3]

Лемма о тройке

Пусть $E,E_{1},E_{2}$ — банаховы пространства и $A\colon E\to E_{1}$ , $B\colon E\to E_{2}$ — линейные непрерывные операторы, причем $B$ отображает $E$ на всё $E_{2}$ (то есть ${\mbox{Im}}\,B=E_{2}$ ). Если при этом

{\mbox{Ker}}\,A\supset {\mbox{Ker}}\,B,

то существует такой линейный непрерывный оператор $C\colon E_{2}\to E_{1}$ , что $A=CB$ .

Здесь ${\mbox{Ker}}\,A$ — ядро, ${\mbox{Im}}\,A$ — образ оператора $A$ . Символически утверждение леммы о тройке удобно изобразить такой схемой:[4]

{\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{\mbox{Ker}}\,A&\to &E&{\xrightarrow {A}}&E_{1}\end{array}}

Примечания

Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 159.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 227.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 228.

Литература

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.

[_2fd4c1635fc73e7b-2] Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 159.

[_5931e82a0c72215b-3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 227.

[_5931e82a0c722154-4] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 228.